特殊情况

在极限运算中，有一些特殊情况需要特别注意，包括无穷小、无穷大的运算以及不定式。

无穷小的运算

无穷小的运算法则

1. 有限个无穷小的和仍是无穷小

如果 $\lim f(x) = 0$，$\lim g(x) = 0$，则 $\lim [f(x) + g(x)] = 0$

2. 有限个无穷小的积仍是无穷小

   如果 $\lim f(x) = 0$，$\lim g(x) = 0$，则 $\lim [f(x) \cdot g(x)] = 0$

3. 有界函数与无穷小的积仍是无穷小

   如果 $\lim f(x) = 0$，且 $g(x)$ 有界，则 $\lim [f(x) \cdot g(x)] = 0$

例子

• $\lim_{x \to 0} (x + x^2) = 0$（两个无穷小的和）
• $\lim_{x \to 0} x \cdot x^2 = 0$（两个无穷小的积）
• $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$（有界函数与无穷小的积）

无穷大的运算

无穷大的运算法则

1. 有限个无穷大的积仍是无穷大

如果 $\lim f(x) = \infty$，$\lim g(x) = \infty$，则 $\lim [f(x) \cdot g(x)] = \infty$

2. 无穷大与有界函数的和仍是无穷大

   如果 $\lim f(x) = \infty$，且 $g(x)$ 有界，则 $\lim [f(x) + g(x)] = \infty$

3. 无穷大与非零常数的积仍是无穷大

   如果 $\lim f(x) = \infty$，$c \neq 0$，则 $\lim [c \cdot f(x)] = \infty$

例子

• $\lim_{x \to \infty} x \cdot x^2 = \infty$（两个无穷大的积）
• $\lim_{x \to \infty} (x + \sin x) = \infty$（无穷大与有界函数的和）
• $\lim_{x \to \infty} 3x = \infty$（无穷大与非零常数的积）

不定式

在极限计算中，以下情况称为不定式，需要特殊处理：

七种不定式

1. $\frac{0}{0}$ 型：分子分母都趋向于 0

2. $\frac{\infty}{\infty}$ 型：分子分母都趋向于无穷大

3. $0 \cdot \infty$ 型：一个趋向于 0，一个趋向于无穷大

4. $\infty - \infty$ 型：两个都趋向于无穷大

5. $0^0$ 型：底数趋向于 0，指数趋向于 0

6. $\infty^0$ 型：底数趋向于无穷大，指数趋向于 0

7. $1^\infty$ 型：底数趋向于 1，指数趋向于无穷大

不定式的处理方法

1. $\frac{0}{0}$ 型

方法：

• 因式分解
• 有理化
• 等价无穷小代换
• 洛必达法则

例子： $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$

2. $\frac{\infty}{\infty}$ 型

方法：

• 分子分母同除以最高次项
• 洛必达法则

例子： $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 1$

3. $0 \cdot \infty$ 型

方法：

• 转化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型

例子： $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$（转化为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型）

4. $\infty - \infty$ 型

方法：

• 通分
• 有理化
• 提取公因子

例子： $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{1}{2}$

5. $0^0$、$\infty^0$、$1^\infty$ 型

方法：

• 取对数，转化为 $0 \cdot \infty$ 型

例子： $\lim_{x \to 0^+} x^x = \lim_{x \to 0^+} e^{x \ln x} = e^0 = 1$

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练习题

练习 1

判断 $\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x}$ 的类型并计算。

参考答案

解题思路：这是有界函数与无穷小的积。

详细步骤：

1. 当 $x \to 0$ 时，$x^2 \to 0$（无穷小）

2. $\sin \frac{1}{x}$ 有界（$-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$）

3. 有界函数与无穷小的积仍是无穷小

4. 因此 $\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0$

答案：极限值为 0。

练习 2

计算极限 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$（$\frac{0}{0}$ 型）。

参考答案

解题思路：因式分解消去零因子。

详细步骤：

1. $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$（当 $x \neq 2$ 时）

2. $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$

答案：极限值为 4。

练习 3

计算极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 + 2x}$（$\frac{\infty}{\infty}$ 型）。

参考答案

解题思路：分子分母同除以最高次项。

详细步骤：

1. $\frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 + 2x} = \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x}}$

2. $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x}}$

3. $= \frac{1 + 0 + 0}{1 + 0} = 1$

答案：极限值为 1。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\lim$	数学符号	极限	表示函数或数列的极限
$\to$	数学符号	趋向于	表示变量趋向于某个值
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷大
$0$	数学符号	零	表示零或无穷小

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
不定式	indeterminate form	/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/	需要特殊处理的极限形式
无穷小	infinitesimal	/ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/	极限为 0 的函数或数列
无穷大	infinity	/ɪnˈfɪnɪti/	极限为无穷大的函数或数列
有界函数	bounded function	/ˈbaʊndɪd ˈfʌŋkʃən/	函数值在某个范围内的函数
因式分解	factorization	/ˌfæktəraɪˈzeɪʃən/	将多项式分解为因式的乘积
有理化	rationalization	/ˌræʃənəlaɪˈzeɪʃən/	消去分母或分子中的根式

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