基本运算法则

极限的基本运算法则是计算极限的基础工具，掌握这些法则可以大大简化极限的计算过程。

前提条件

设 $\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$，其中 $A$ 和 $B$ 都是有限数。

四则运算法则

加法法则

加法法则

$\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$

即：两个函数和（或差）的极限等于它们极限的和（或差）。

证明

定理：$\lim [f(x) + g(x)] = A + B$

证明：

1. 由于 $\lim f(x) = A$，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $0 < \vert x - x_0 \vert < \delta_1$ 时，$\vert f(x) - A \vert < \frac{\varepsilon}{2}$

2. 由于 $\lim g(x) = B$，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_2 > 0$，使得当 $0 < \vert x - x_0 \vert < \delta_2$ 时，$\vert g(x) - B \vert < \frac{\varepsilon}{2}$

3. 取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$，则当 $0 < \vert x - x_0 \vert < \delta$ 时： $\vert f(x) + g(x) - (A + B) \vert \leq \vert f(x) - A \vert + \vert g(x) - B \vert < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$

4. 因此 $\lim [f(x) + g(x)] = A + B$

乘法法则

乘法法则

$\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$

即：两个函数积的极限等于它们极限的积。

推广：$\lim [c \cdot f(x)] = c \cdot A$（其中 $c$ 为常数）

证明思路

定理：$\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$

证明思路：

1. 利用恒等式：$f(x) \cdot g(x) - A \cdot B = [f(x) - A] \cdot g(x) + A \cdot [g(x) - B]$

2. 由于 $\lim g(x) = B$，所以 $g(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有界

3. 利用无穷小的性质和有界函数与无穷小的积仍是无穷小

4. 得出 $\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$

除法法则

除法法则

$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$（其中 $B \neq 0$）

即：两个函数商的极限等于它们极限的商（分母极限不为零）。

证明思路

定理：$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$（其中 $B \neq 0$）

证明思路：

1. 先证明 $\lim \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{B}$

2. 由于 $B \neq 0$，所以 $g(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内不为 0

3. 利用乘法法则：$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim f(x) \cdot \lim \frac{1}{g(x)} = A \cdot \frac{1}{B} = \frac{A}{B}$

幂运算法则

幂运算法则

$\lim [f(x)]^n = A^n$（其中 $n$ 为正整数）

即：函数幂的极限等于极限的幂。

推广：$\lim [f(x)]^{g(x)} = A^B$（需要满足一定条件）

应用例子

例子 1

计算 $\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1)$

解： $\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1) = \lim_{x \to 2} x^2 + \lim_{x \to 2} 3x - \lim_{x \to 2} 1 = 4 + 6 - 1 = 9$

例子 2

计算 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x}{x + 1}$

解： $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x}{x + 1} = \frac{\lim_{x \to 1} (x^2 + 2x)}{\lim_{x \to 1} (x + 1)} = \frac{1 + 2}{1 + 1} = \frac{3}{2}$

练习题

练习 1

计算极限 $\lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1)$。

参考答案

解题思路：利用加法法则和幂运算法则。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1) = 2 \lim_{x \to 3} x^2 - 5 \lim_{x \to 3} x + \lim_{x \to 3} 1$

2. $= 2 \cdot 9 - 5 \cdot 3 + 1 = 18 - 15 + 1 = 4$

答案：极限值为 4。

练习 2

计算极限 $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1}$。

参考答案

解题思路：利用除法法则。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} = \frac{\lim_{x \to 2} (x^3 + 1)}{\lim_{x \to 2} (x^2 - 1)}$

2. $= \frac{8 + 1}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$

答案：极限值为 3。

练习 3

计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + x}{x}$。

参考答案

解题思路：利用加法法则和重要极限。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + x}{x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x} + \frac{x}{x}\right)$

2. $= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} + \lim_{x \to 0} 1$

3. $= 1 + 1 = 2$

答案：极限值为 2。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\varepsilon$	希腊字母	Epsilon（伊普西隆）	表示一个任意小的正数
$\delta$	希腊字母	Delta（德尔塔）	表示与 $\varepsilon$ 相关的正数
$n$	数学符号	正整数	表示正整数
$\lim$	数学符号	极限	表示函数或数列的极限
$\to$	数学符号	趋向于	表示变量趋向于某个值
$\pm$	数学符号	加减号	表示加法或减法
$\cdot$	数学符号	乘号	表示乘法

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
加法法则	addition rule	/əˈdɪʃən ruːl/	两个函数和的极限等于极限的和
乘法法则	multiplication rule	/ˌmʌltɪplɪˈkeɪʃən ruːl/	两个函数积的极限等于极限的积
除法法则	division rule	/dɪˈvɪʒən ruːl/	两个函数商的极限等于极限的商
幂运算法则	power rule	/ˈpaʊə ruːl/	函数幂的极限等于极限的幂
有界函数	bounded function	/ˈbaʊndɪd ˈfʌŋkʃən/	函数值在某个范围内的函数

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