单调有界准则
单调有界准则是数列极限理论中的基础准则，它建立了数列单调性与有界性之间的关系，为判断数列收敛性提供了重要工具。
定理
单调有界数列必有极限：如果数列 {xn} 单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，则数列必有极限。
ε（epsilon）：希腊字母，读作”伊普西隆”，在数学分析中通常表示一个任意小的正数。
N：表示一个足够大的正整数。
M：表示上确界（supremum），数列的上界中的最小值。
证明思路
以单调递增且有上界的情况为例：
-
由于数列有上界，根据确界原理，数列有上确界 M=sup{xn}
-
对于任意 ε>0，存在 N，使得 xN>M−ε
-
由于数列单调递增，当 n>N 时，xn≥xN>M−ε
-
又因为 M 是上确界，所以 xn≤M
-
因此当 n>N 时，M−ε<xn≤M<M+ε，即 ∣xn−M∣<ε
-
所以 limxn=M
应用场景
何时使用单调有界准则
- 数列有明显的单调性
- 数列有界
- 无法直接求出极限
- 数列有递推关系
练习题
练习 1
证明数列 xn=n2+nn2+1 收敛并求其极限。
参考答案
解题思路：
先证明数列单调递减且有下界，然后求极限。
详细步骤：
-
证明单调递减：
xn+1−xn=(n+1)2+(n+1)(n+1)2+1−n2+nn2+1<0
-
证明有下界：
xn=n2+nn2+1=1−n2+nn−1>0
-
由单调有界准则，数列收敛
-
求极限：
limn→∞n2+nn2+1=limn→∞1+n11+n21=1
答案：数列收敛，极限为 1。
练习 2
求数列 xn=n+1n 的极限。
参考答案
解题思路：
证明数列单调递增且有上界，然后求极限。
详细步骤：
-
证明单调递增：
xn+1−xn=n+2n+1−n+1n=(n+1)(n+2)1>0
-
证明有上界：
xn=n+1n=1−n+11<1
-
由单调有界准则，数列收敛
-
求极限：
limn→∞n+1n=1
答案：极限为 1。
练习 3
证明数列 xn=(1+n1)n 收敛。
参考答案
解题思路：
证明数列单调递增且有上界。
详细步骤：
-
证明单调递增：
利用二项式定理展开，可以证明 xn+1>xn
-
证明有上界：
可以证明 xn<3（通过数学归纳法）
-
由单调有界准则，数列收敛
-
该数列的极限就是自然常数 e
答案：数列收敛，极限为 e。
练习 4
证明数列 xn=nn 收敛并求其极限。
参考答案
解题思路：
证明数列单调递减且有下界。
详细步骤：
-
证明单调递减：
当 n≥3 时，xn+1<xn
-
证明有下界：
xn=nn≥1
-
由单调有界准则，数列收敛
-
求极限：
limn→∞nn=1
答案：数列收敛，极限为 1。
总结
本文出现的符号
| 符号 | 类型 | 读音/说明 | 在本文中的含义 |
|---|
| ε | 希腊字母 | Epsilon（伊普西隆） | 表示一个任意小的正数 |
| N | 数学符号 | 正整数 | 表示一个足够大的正整数 |
| M | 数学符号 | 上确界 | 数列的上界中的最小值 |
| {xn} | 数学符号 | 数列 | 表示一个数列 |
| sup | 数学符号 | 上确界 | 表示集合的上确界 |
| lim | 数学符号 | 极限 | 表示函数或数列的极限 |
中英对照
| 中文术语 | 英文术语 | 音标 | 说明 |
|---|
| 单调有界准则 | monotone bounded theorem | /ˈmɒnətəʊn ˈbaʊndɪd ˈθɪərəm/ | 判断数列收敛性的准则 |
| 单调递增 | monotone increasing | /ˈmɒnətəʊn ɪnˈkriːsɪŋ/ | 数列或函数值逐渐增大 |
| 单调递减 | monotone decreasing | /ˈmɒnətəʊn dɪˈkriːsɪŋ/ | 数列或函数值逐渐减小 |
| 有上界 | bounded above | /ˈbaʊndɪd əˈbʌv/ | 存在一个数大于等于所有项 |
| 有下界 | bounded below | /ˈbaʊndɪd bɪˈləʊ/ | 存在一个数小于等于所有项 |
| 上确界 | supremum | /suːˈpriːməm/ | 上界中的最小值 |
| 下确界 | infimum | /ɪnˈfaɪməm/ | 下界中的最大值 |
| 确界原理 | completeness axiom | /kəmˈpliːtnəs ˈæksɪəm/ | 实数系的基本性质 |
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