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高等数学之极限的世界

单调有界准则

单调有界准则是数列极限理论中的基础准则，它建立了数列单调性与有界性之间的关系，为判断数列收敛性提供了重要工具。

定理

单调有界数列必有极限：如果数列 {xn}\{x_n\} 单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，则数列必有极限。

证明思路

以单调递增且有上界的情况为例：

  1. 由于数列有上界，根据确界原理，数列有上确界 M=sup⁡{xn}M = \sup\{x_n\}

  2. 对于任意 ε>0\varepsilon > 0，存在 NN，使得 xN>M−εx_N > M - \varepsilon

  3. 由于数列单调递增，当 n>Nn > N 时，xn≥xN>M−εx_n \geq x_N > M - \varepsilon

  4. 又因为 MM 是上确界，所以 xn≤Mx_n \leq M

  5. 因此当 n>Nn > N 时，M−ε<xn≤M<M+εM - \varepsilon < x_n \leq M < M + \varepsilon，即 ∣xn−M∣<ε|x_n - M| < \varepsilon

  6. 所以 lim⁡xn=M\lim x_n = M

应用场景

何时使用单调有界准则

  • 数列有明显的单调性
  • 数列有界
  • 无法直接求出极限
  • 数列有递推关系

练习题

练习 1

证明数列 xn=n2+1n2+nx_n = \frac{n^2 + 1}{n^2 + n} 收敛并求其极限。

参考答案

解题思路： 先证明数列单调递减且有下界，然后求极限。

详细步骤：

  1. 证明单调递减： xn+1−xn=(n+1)2+1(n+1)2+(n+1)−n2+1n2+n<0x_{n+1} - x_n = \frac{(n+1)^2 + 1}{(n+1)^2 + (n+1)} - \frac{n^2 + 1}{n^2 + n} < 0

  2. 证明有下界： xn=n2+1n2+n=1−n−1n2+n>0x_n = \frac{n^2 + 1}{n^2 + n} = 1 - \frac{n-1}{n^2 + n} > 0

  3. 由单调有界准则，数列收敛

  4. 求极限： lim⁡n→∞n2+1n2+n=lim⁡n→∞1+1n21+1n=1\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{n^2 + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n}} = 1

答案：数列收敛，极限为 1。

练习 2

求数列 xn=nn+1x_n = \frac{n}{n+1} 的极限。

参考答案

解题思路： 证明数列单调递增且有上界，然后求极限。

详细步骤：

  1. 证明单调递增： xn+1−xn=n+1n+2−nn+1=1(n+1)(n+2)>0x_{n+1} - x_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0

  2. 证明有上界： xn=nn+1=1−1n+1<1x_n = \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} < 1

  3. 由单调有界准则，数列收敛

  4. 求极限： lim⁡n→∞nn+1=1\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1

答案：极限为 1。

练习 3

证明数列 xn=(1+1n)nx_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n 收敛。

参考答案

解题思路： 证明数列单调递增且有上界。

详细步骤：

  1. 证明单调递增： 利用二项式定理展开，可以证明 xn+1>xnx_{n+1} > x_n

  2. 证明有上界： 可以证明 xn<3x_n < 3（通过数学归纳法）

  3. 由单调有界准则，数列收敛

  4. 该数列的极限就是自然常数 ee

答案：数列收敛，极限为 ee。

练习 4

证明数列 xn=nnx_n = \sqrt[n]{n} 收敛并求其极限。

参考答案

解题思路： 证明数列单调递减且有下界。

详细步骤：

  1. 证明单调递减： 当 n≥3n \geq 3 时，xn+1<xnx_{n+1} < x_n

  2. 证明有下界： xn=nn≥1x_n = \sqrt[n]{n} \geq 1

  3. 由单调有界准则，数列收敛

  4. 求极限： lim⁡n→∞nn=1\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

答案：数列收敛，极限为 1。

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