洛必达法则
洛必达法则是求解 0 0 \frac{0}{0} 0 0 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞ ∞
洛必达法则以法国数学家纪尧姆·德·洛必达（Guillaume de l’Hôpital，1661-1704）命名。他在1696年出版的《无穷小分析》一书中首次系统地阐述了这个法则。不过，这个法则实际上是由瑞士数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli）发现的，洛必达从伯努利那里学到了这个方法，并在自己的著作中发表，因此以他的名字命名。
基本原理
如果 lim x → a f ( x ) = 0 \lim_{x \to a} f(x) = 0 lim x → a f ( x ) = 0 lim x → a g ( x ) = 0 \lim_{x \to a} g(x) = 0 lim x → a g ( x ) = 0 lim x → a f ( x ) = ∞ \lim_{x \to a} f(x) = \infty lim x → a f ( x ) = ∞ lim x → a g ( x ) = ∞ \lim_{x \to a} g(x) = \infty lim x → a g ( x ) = ∞
lim x → a f ( x ) g ( x ) = lim x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} x → a lim g ( x ) f ( x ) = x → a lim g ′ ( x ) f ′ ( x ) （如果右边的极限存在或为无穷大）
适用条件
1. 0 0 \frac{0}{0} 0 0
分子在极限点为零
分母在极限点为零
分子分母都可导
2. ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞ ∞
分子在极限点为无穷大
分母在极限点为无穷大
分子分母都可导
3. 其他不定式
0 ⋅ ∞ 0 \cdot \infty 0 ⋅ ∞ 0 0 \frac{0}{0} 0 0 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞ ∞ ∞ − ∞ \infty - \infty ∞ − ∞ 0 0 \frac{0}{0} 0 0 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞ ∞ 0 0 0^0 0 0 ∞ 0 \infty^0 ∞ 0 1 ∞ 1^\infty 1 ∞ 0 0 \frac{0}{0} 0 0 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞ ∞
使用步骤
检查不定式类型 求分子分母的导数 求导数的极限 如果仍为不定式，重复步骤2-3
典型例题
例题 1
求极限 lim x → 0 sin x x \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} lim x → 0 x s i n x
参考答案
解题思路 ：
这是一个 0 0 \frac{0}{0} 0 0
详细步骤 ：
检查不定式类型：
当 x → 0 x \to 0 x → 0 sin x → 0 \sin x \to 0 sin x → 0
当 x → 0 x \to 0 x → 0 x → 0 x \to 0 x → 0
因此是 0 0 \frac{0}{0} 0 0
求分子分母的导数：
( sin x ) ′ = cos x (\sin x)' = \cos x ( sin x ) ′ = cos x ( x ) ′ = 1 (x)' = 1 ( x ) ′ = 1
求导数的极限：
lim x → 0 cos x 1 = cos 0 = 1 \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1 lim x → 0 1 c o s x = cos 0 = 1
答案 ：
lim x → 0 sin x x = 1 \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 lim x → 0 x s i n x = 1
例题 2
求极限 lim x → ∞ x 2 e x \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} lim x → ∞ e x x 2
参考答案
解题思路 ：
这是一个 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞ ∞
详细步骤 ：
检查不定式类型：
当 x → ∞ x \to \infty x → ∞ x 2 → ∞ x^2 \to \infty x 2 → ∞
当 x → ∞ x \to \infty x → ∞ e x → ∞ e^x \to \infty e x → ∞
因此是 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞ ∞
求分子分母的导数：
( x 2 ) ′ = 2 x (x^2)' = 2x ( x 2 ) ′ = 2 x ( e x ) ′ = e x (e^x)' = e^x ( e x ) ′ = e x
求导数的极限：
lim x → ∞ 2 x e x \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} lim x → ∞ e x 2 x ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞ ∞
再次使用洛必达法则：
( 2 x ) ′ = 2 (2x)' = 2 ( 2 x ) ′ = 2 ( e x ) ′ = e x (e^x)' = e^x ( e x ) ′ = e x
求二阶导数的极限：
lim x → ∞ 2 e x = 0 \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0 lim x → ∞ e x 2 = 0
答案 ：
lim x → ∞ x 2 e x = 0 \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = 0 lim x → ∞ e x x 2 = 0
练习题
练习 1
求极限 lim x → 0 e x − 1 x \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} lim x → 0 x e x − 1
参考答案
解题思路 ：
这是一个 0 0 \frac{0}{0} 0 0
详细步骤 ：
检查不定式类型：
当 x → 0 x \to 0 x → 0 e x − 1 → 0 e^x - 1 \to 0 e x − 1 → 0
当 x → 0 x \to 0 x → 0 x → 0 x \to 0 x → 0
因此是 0 0 \frac{0}{0} 0 0
求分子分母的导数：
( e x − 1 ) ′ = e x (e^x - 1)' = e^x ( e x − 1 ) ′ = e x ( x ) ′ = 1 (x)' = 1 ( x ) ′ = 1
求导数的极限：
lim x → 0 e x 1 = e 0 = 1 \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1 lim x → 0 1 e x = e 0 = 1
答案 ：
lim x → 0 e x − 1 x = 1 \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 lim x → 0 x e x − 1 = 1
练习 2
求极限 lim x → 0 ln ( 1 + x ) x \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} lim x → 0 x l n ( 1 + x )
参考答案
解题思路 ：
这是一个 0 0 \frac{0}{0} 0 0
详细步骤 ：
检查不定式类型：
当 x → 0 x \to 0 x → 0 ln ( 1 + x ) → 0 \ln(1 + x) \to 0 ln ( 1 + x ) → 0
当 x → 0 x \to 0 x → 0 x → 0 x \to 0 x → 0
因此是 0 0 \frac{0}{0} 0 0
求分子分母的导数：
( ln ( 1 + x ) ) ′ = 1 1 + x (\ln(1 + x))' = \frac{1}{1 + x} ( ln ( 1 + x ) ) ′ = 1 + x 1 ( x ) ′ = 1 (x)' = 1 ( x ) ′ = 1
求导数的极限：
lim x → 0 1 1 + x 1 = lim x → 0 1 1 + x = 1 \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} = 1 lim x → 0 1 1 + x 1 = lim x → 0 1 + x 1 = 1
答案 ：
lim x → 0 ln ( 1 + x ) x = 1 \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 lim x → 0 x l n ( 1 + x ) = 1
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