洛必达法则

解题思路： 这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，可以使用洛必达法则。

详细步骤：

1. 检查不定式类型：

   • 当 $x \to 0$ 时，分子 $\sin x \to 0$
   • 当 $x \to 0$ 时，分母 $x \to 0$
   • 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式

2. 求分子分母的导数：

   • $(\sin x)' = \cos x$
   • $(x)' = 1$

3. 求导数的极限： $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1$

答案： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

解题思路： 这是一个 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式，可以使用洛必达法则。

详细步骤：

1. 检查不定式类型：

   • 当 $x \to \infty$ 时，分子 $x^2 \to \infty$
   • 当 $x \to \infty$ 时，分母 $e^x \to \infty$
   • 因此是 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式

2. 求分子分母的导数：

   • $(x^2)' = 2x$
   • $(e^x)' = e^x$

3. 求导数的极限： $\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}$ 这仍然是 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式

4. 再次使用洛必达法则：

   • $(2x)' = 2$
   • $(e^x)' = e^x$

5. 求二阶导数的极限： $\lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$

答案： $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$

解题思路： 这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，可以使用洛必达法则。

详细步骤：

1. 检查不定式类型：

   • 当 $x \to 0$ 时，分子 $e^x - 1 \to 0$
   • 当 $x \to 0$ 时，分母 $x \to 0$
   • 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式

2. 求分子分母的导数：

   • $(e^x - 1)' = e^x$
   • $(x)' = 1$

3. 求导数的极限： $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1$

答案： $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

解题思路： 这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，可以使用洛必达法则。

详细步骤：

1. 检查不定式类型：

   • 当 $x \to 0$ 时，分子 $\ln(1 + x) \to 0$
   • 当 $x \to 0$ 时，分母 $x \to 0$
   • 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式

2. 求分子分母的导数：

   • $(\ln(1 + x))' = \frac{1}{1 + x}$
   • $(x)' = 1$

3. 求导数的极限： $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} = 1$

答案： $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$