幂函数极限

幂函数极限是极限理论中的重要公式，在极限计算中经常用到。

基本形式

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^\alpha - 1}{x} = \alpha$

证明思路

利用对数函数和指数函数的性质：

1. $(1 + x)^\alpha = e^{\alpha \ln(1 + x)}$
2. 当 $x \to 0$ 时，$\ln(1 + x) \sim x$
3. 因此 $(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$

详细推导过程

步骤 1：利用指数和对数的关系 $(1 + x)^\alpha = e^{\alpha \ln(1 + x)}$

步骤 2：利用等价无穷小 当 $x \to 0$ 时，$\ln(1 + x) \sim x$（对数函数极限）

步骤 3：推导幂函数极限 $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^\alpha - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\alpha \ln(1 + x)} - 1}{x}$

当 $x \to 0$ 时，$\alpha \ln(1 + x) \sim \alpha x$，所以： $\lim_{x \to 0} \frac{e^{\alpha x} - 1}{x} = \alpha$

步骤 4：利用指数函数极限 指数函数极限：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

指数函数极限的来源：

这个指数函数极限是从第二个重要极限推导出来的：

1. 第二个重要极限：$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

2. 通过变量代换得到：$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

3. 两边取对数：$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$

4. 利用指数和对数的逆运算关系，得到：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

因此： $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^\alpha - 1}{x} = \alpha$

关键理解：幂函数极限可以通过指数函数和对数函数的性质推导出来。当指数 $\alpha$ 为整数时，也可以用二项式定理展开证明。

特殊情况

当 $\alpha = 1$ 时： $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x) - 1}{x} = 1$

等价无穷小

利用这个重要极限，我们可以得到重要的等价无穷小：

• 当 $x \to 0$ 时，$(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$

应用例子

例子 1

求 $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^3 - 1}{x}$

解： $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^3 - 1}{x} = 3$

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练习题

练习 1

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^4 - 1}{x}$。

参考答案

解题思路：利用幂函数极限公式。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^4 - 1}{x} = 4$

答案：极限值为 4。

练习 2

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2x)^5 - 1}{x}$。

参考答案

解题思路：利用幂函数极限公式和变量代换。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2x)^5 - 1}{x} = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{(1 + 2x)^5 - 1}{2x}$

2. 令 $t = 2x$，当 $x \to 0$ 时，$t \to 0$

3. $\lim_{t \to 0} 2 \cdot \frac{(1 + t)^5 - 1}{t} = 2 \cdot 5 = 10$

答案：极限值为 10。

练习 3

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{2}} - 1}{x}$。

参考答案

解题思路：利用幂函数极限公式，其中 $\alpha = \frac{1}{2}$。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{2}} - 1}{x} = \frac{1}{2}$

答案：极限值为 $\frac{1}{2}$。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\alpha$	希腊字母	Alpha（阿尔法）	表示幂指数
$e$	数学符号	自然常数	自然对数的底数，约等于 2.71828
$\ln$	数学符号	自然对数	以 $e$ 为底的对数
$\lim$	数学符号	极限	表示函数或数列的极限
$\to$	数学符号	趋向于	表示变量趋向于某个值
$\sim$	数学符号	等价符号	表示等价无穷小

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
幂函数	power function	/ˈpaʊə ˈfʌŋkʃən/	以变量为底的指数函数
指数	exponent	/ɪkˈspəʊnənt/	幂运算中的上标
等价无穷小	equivalent infinitesimal	/ɪˈkwɪvələnt ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/	两个无穷小的比值趋于 1
二项式定理	binomial theorem	/baɪˈnəʊmiəl ˈθɪərəm/	展开二项式幂的定理
变量代换	variable substitution	/ˈveəriəbəl ˌsʌbstɪˈtjuːʃən/	用新变量替换原变量

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