无穷大

无穷大是极限理论中的重要概念，它在极限计算中起着关键作用。

定义

无穷大的定义

若 $\lim f(x) = \infty$，则称 $f(x)$ 为无穷大量。

数学语言：对于任意给定的正数 $M$，总存在正数 $\delta$，使得当 $0 < \vert x - x_0 \vert < \delta$ 时，恒有 $\vert f(x) \vert > M$。

例子：

• 当 $x \to 0$ 时，$\frac{1}{x}$ 是无穷大
• 当 $x \to \infty$ 时，$x$、$x^2$、$e^x$ 都是无穷大

无穷大的分类

1. 正无穷大：$\lim f(x) = +\infty$
2. 负无穷大：$\lim f(x) = -\infty$
3. 无穷大：$\lim f(x) = \infty$（包括正负无穷大）

无穷小与无穷大的关系

基本关系

定理：在同一过程中，如果 $f(x)$ 是无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷小；反之，如果 $f(x)$ 是无穷小且 $f(x) \neq 0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷大。

无穷小与无穷大的关系

若 $\lim f(x) = \infty$，则 $\lim \frac{1}{f(x)} = 0$

若 $\lim f(x) = 0$ 且 $f(x) \neq 0$，则 $\lim \frac{1}{f(x)} = \infty$

例子

• 当 $x \to 0$ 时，$x$ 是无穷小，$\frac{1}{x}$ 是无穷大
• 当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x}$ 是无穷小，$x$ 是无穷大

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练习题

练习 1

判断当 $x \to \infty$ 时，$x^2$ 是否为无穷大。

参考答案

解题思路：判断 $\lim_{x \to \infty} x^2$ 是否为无穷大。

详细步骤：

1. 对于任意给定的正数 $M$，取 $\delta = \sqrt{M}$

2. 当 $x > \delta$ 时，有 $x^2 > M$

3. 因此 $\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty$

答案：$x^2$ 是无穷大。

练习 2

判断当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{1}{x^2}$ 是正无穷大还是负无穷大。

参考答案

解题思路：分析 $\frac{1}{x^2}$ 的符号和极限行为。

详细步骤：

1. 当 $x \to 0^+$ 时，$x > 0$，所以 $x^2 > 0$

2. 因此 $\frac{1}{x^2} > 0$

3. 且 $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} = +\infty$

答案：$\frac{1}{x^2}$ 是正无穷大。

练习 3

利用无穷小与无穷大的关系，判断当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x}$ 是无穷小还是无穷大。

参考答案

解题思路：利用无穷小与无穷大的关系定理。

详细步骤：

1. 当 $x \to \infty$ 时，$x$ 是无穷大

2. 根据定理，$\frac{1}{x}$ 是无穷小

3. 即 $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

答案：$\frac{1}{x}$ 是无穷小。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$M$	数学符号	任意大的正数	用于定义无穷大
$\delta$	希腊字母	Delta（德尔塔）	表示与 $M$ 相关的正数
$\lim$	数学符号	极限	表示函数或数列的极限
$\to$	数学符号	趋向于	表示变量趋向于某个值
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷大
$+\infty$	数学符号	正无穷大	表示正无穷大
$-\infty$	数学符号	负无穷大	表示负无穷大

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
无穷大	infinity	/ɪnˈfɪnɪti/	极限为无穷大的函数或数列
正无穷大	positive infinity	/ˈpɒzətɪv ɪnˈfɪnɪti/	极限为正无穷大
负无穷大	negative infinity	/ˈneɡətɪv ɪnˈfɪnɪti/	极限为负无穷大
无穷小	infinitesimal	/ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/	极限为 0 的函数或数列

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