无穷小

无穷小是极限理论中的重要概念，它在极限计算中起着关键作用。

定义

无穷小的定义

若 $\lim f(x) = 0$，则称 $f(x)$ 为无穷小量。

数学语言：对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当 $0 < \vert x - x_0 \vert < \delta$ 时，恒有 $\vert f(x) \vert < \varepsilon$。

例子：

• 当 $x \to 0$ 时，$x$、$x^2$、$\sin x$ 都是无穷小
• 当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n}$、$\frac{1}{n^2}$ 都是无穷小

性质

1. 有限个无穷小的和仍是无穷小
2. 有限个无穷小的积仍是无穷小
3. 有界函数与无穷小的积仍是无穷小

无穷小的比较

定义

无穷小的比较

设 $\lim \alpha(x) = 0$，$\lim \beta(x) = 0$，且 $\beta(x) \neq 0$，则：

1. 高阶无穷小：$\lim \frac{\alpha}{\beta} = 0$，记作 $\alpha = o(\beta)$
2. 低阶无穷小：$\lim \frac{\alpha}{\beta} = \infty$，记作 $\beta = o(\alpha)$
3. 同阶无穷小：$\lim \frac{\alpha}{\beta} = C \neq 0$，记作 $\alpha = O(\beta)$
4. 等价无穷小：$\lim \frac{\alpha}{\beta} = 1$，记作 $\alpha \sim \beta$

比较的例子

当 $x \to 0$ 时：

• $x^2$ 是 $x$ 的高阶无穷小：$\lim \frac{x^2}{x} = 0$
• $x$ 是 $x^2$ 的低阶无穷小：$\lim \frac{x}{x^2} = \infty$
• $2x$ 与 $x$ 是同阶无穷小：$\lim \frac{2x}{x} = 2$
• $\sin x$ 与 $x$ 是等价无穷小：$\lim \frac{\sin x}{x} = 1$

等价无穷小

定义

等价无穷小的定义

如果 $\lim \frac{\alpha}{\beta} = 1$，则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$。

重要性质

1. 传递性：若 $\alpha \sim \beta$，$\beta \sim \gamma$，则 $\alpha \sim \gamma$
2. 对称性：若 $\alpha \sim \beta$，则 $\beta \sim \alpha$
3. 代换性：在求极限时，可以用等价无穷小进行代换

常用等价无穷小

当 $x \to 0$ 时：

• $\sin x \sim x$
• $\tan x \sim x$
• $\arcsin x \sim x$
• $\arctan x \sim x$
• $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$
• $e^x - 1 \sim x$
• $\ln(1 + x) \sim x$
• $(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$

等价无穷小的应用

代换原则：在求极限时，可以将复杂的无穷小用简单的等价无穷小替换。

例子：

• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{x} = 3$
• $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}$

无穷小的阶

定义

无穷小的阶

如果 $\alpha \sim x^n$，则称 $\alpha$ 是 $n$ 阶无穷小。

例子

当 $x \to 0$ 时：

• $x$ 是一阶无穷小
• $x^2$ 是二阶无穷小
• $1 - \cos x$ 是二阶无穷小（因为 $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$）

---

练习题

练习 1

判断当 $x \to 0$ 时，$x^3$ 与 $x^2$ 的关系。

参考答案

解题思路：计算 $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2}$ 来判断关系。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to 0} x = 0$

2. 由于极限为 0，所以 $x^3$ 是 $x^2$ 的高阶无穷小。

答案：$x^3$ 是 $x^2$ 的高阶无穷小。

练习 2

利用等价无穷小求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$。

参考答案

解题思路：利用等价无穷小代换简化计算。

详细步骤：

1. 当 $x \to 0$ 时，$\tan x \sim x$，$\sin x \sim x$

2. 但是 $\tan x - \sin x$ 不能直接代换，需要进一步处理

3. $\tan x - \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x = \sin x \left(\frac{1}{\cos x} - 1\right) = \sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}$

4. 当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，$\cos x \to 1$

5. 所以 $\tan x - \sin x \sim x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}$

6. 因此 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{x^3} = \frac{1}{2}$

答案：极限值为 $\frac{1}{2}$。

练习 3

判断数列 $x_n = \frac{1}{n^2}$ 是否为无穷小数列。

参考答案

解题思路：判断 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}$ 是否为 0。

详细步骤：

1. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$

2. 因此 $x_n = \frac{1}{n^2}$ 是无穷小数列。

答案：是无穷小数列。

---

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\varepsilon$	希腊字母	Epsilon（伊普西隆）	表示一个任意小的正数
$\delta$	希腊字母	Delta（德尔塔）	表示与 $\varepsilon$ 相关的正数
$\alpha$	希腊字母	Alpha（阿尔法）	表示无穷小量
$\beta$	希腊字母	Beta（贝塔）	表示无穷小量
$\gamma$	希腊字母	Gamma（伽马）	表示无穷小量
$o(\beta)$	数学符号	小 o 记号	表示高阶无穷小
$O(\beta)$	数学符号	大 O 记号	表示同阶无穷小
$\sim$	数学符号	等价符号	表示等价无穷小
$\lim$	数学符号	极限	表示函数或数列的极限
$\to$	数学符号	趋向于	表示变量趋向于某个值

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
无穷小	infinitesimal	/ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/	极限为 0 的函数或数列
高阶无穷小	higher order infinitesimal	/ˈhaɪə ˈɔːdə ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/	比另一个无穷小更快趋于 0
低阶无穷小	lower order infinitesimal	/ˈləʊə ˈɔːdə ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/	比另一个无穷小更慢趋于 0
同阶无穷小	same order infinitesimal	/seɪm ˈɔːdə ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/	两个无穷小的比值趋于非零常数
等价无穷小	equivalent infinitesimal	/ɪˈkwɪvələnt ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/	两个无穷小的比值趋于 1
无穷小的阶	order of infinitesimal	/ˈɔːdə əv ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/	无穷小与 $x^n$ 的等价关系
小 o 记号	little-o notation	/ˈlɪtəl əʊ nəʊˈteɪʃən/	表示高阶无穷小的记号
大 O 记号	big-O notation	/bɪɡ əʊ nəʊˈteɪʃən/	表示同阶无穷小的记号

上一章节 极限的基本概念 下一章节 无穷大