其他重要准则
除了夹逼准则、单调有界准则和柯西收敛准则外,还有一些其他重要的极限存在准则,它们在特定情况下非常有用。
子数列准则
定理
如果数列 {xn} 收敛于 A,则其任意子数列也收敛于 A。
逆否命题
如果存在两个子数列收敛于不同的极限,则原数列发散。
应用
常用于证明数列发散:找到两个收敛于不同极限的子数列。
有界性准则
定理
收敛数列必有界。
逆否命题
无界数列必发散。
应用
常用于证明数列发散:证明数列无界。
保号性准则
定理
如果 limxn=A>0,则存在 N,使得当 n>N 时,xn>0。
推论
如果 limxn=A<0,则存在 N,使得当 n>N 时,xn<0。
练习题
练习 1
证明数列 xn=(−1)n 发散。
参考答案
解题思路:
利用子数列准则,找到两个收敛于不同极限的子数列。
详细步骤:
-
取子数列 {x2n}:x2n=(−1)2n=1,极限为 1
-
取子数列 {x2n−1}:x2n−1=(−1)2n−1=−1,极限为 -1
-
由于存在两个收敛于不同极限的子数列,原数列发散
答案:数列发散。
练习 2
证明数列 xn=n 发散。
参考答案
解题思路:
利用有界性准则,证明数列无界。
详细步骤:
-
对于任意正数 M,取 N=⌈M⌉+1
-
当 n>N 时,xn=n>N>M
-
因此数列无界
-
由有界性准则的逆否命题,数列发散
答案:数列发散。
练习 3
证明数列 xn=n1 收敛于 0。
参考答案
解题思路:
利用定义证明数列收敛。
详细步骤:
-
对于任意 ε>0,取 N=⌈ε1⌉
-
当 n>N 时,∣xn−0∣=n1<N1≤ε
-
因此 limxn=0
答案:数列收敛于 0。
练习 4
判断数列 xn=n2+nn2+1 的极限符号。
参考答案
解题思路:
先求极限,然后利用保号性准则。
详细步骤:
-
limn→∞n2+nn2+1=limn→∞1+n11+n21=1>0
-
由保号性准则,存在 N,使得当 n>N 时,xn>0
-
因此数列从某一项开始都是正数
答案:极限为正数,数列从某一项开始都是正数。
练习 5
证明数列 xn=sin2nπ 发散。
参考答案
解题思路:
利用子数列准则,找到收敛于不同极限的子数列。
详细步骤:
-
取子数列 {x4n}:x4n=sin(2nπ)=0,极限为 0
-
取子数列 {x4n+1}:x4n+1=sin(2nπ+2π)=1,极限为 1
-
由于存在两个收敛于不同极限的子数列,原数列发散
答案:数列发散。