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其他重要准则

除了夹逼准则、单调有界准则和柯西收敛准则外,还有一些其他重要的极限存在准则,它们在特定情况下非常有用。

子数列准则

定理

如果数列 {xn}\{x_n\} 收敛于 AA,则其任意子数列也收敛于 AA

逆否命题

如果存在两个子数列收敛于不同的极限,则原数列发散。

应用

常用于证明数列发散:找到两个收敛于不同极限的子数列。

有界性准则

定理

收敛数列必有界。

逆否命题

无界数列必发散。

应用

常用于证明数列发散:证明数列无界。

保号性准则

定理

如果 limxn=A>0\lim x_n = A > 0,则存在 NN,使得当 n>Nn > N 时,xn>0x_n > 0

推论

如果 limxn=A<0\lim x_n = A < 0,则存在 NN,使得当 n>Nn > N 时,xn<0x_n < 0

练习题

练习 1

证明数列 xn=(1)nx_n = (-1)^n 发散。

参考答案

解题思路: 利用子数列准则,找到两个收敛于不同极限的子数列。

详细步骤

  1. 取子数列 {x2n}\{x_{2n}\}x2n=(1)2n=1x_{2n} = (-1)^{2n} = 1,极限为 1

  2. 取子数列 {x2n1}\{x_{2n-1}\}x2n1=(1)2n1=1x_{2n-1} = (-1)^{2n-1} = -1,极限为 -1

  3. 由于存在两个收敛于不同极限的子数列,原数列发散

答案:数列发散。

练习 2

证明数列 xn=nx_n = n 发散。

参考答案

解题思路: 利用有界性准则,证明数列无界。

详细步骤

  1. 对于任意正数 MM,取 N=M+1N = \lceil M \rceil + 1

  2. n>Nn > N 时,xn=n>N>Mx_n = n > N > M

  3. 因此数列无界

  4. 由有界性准则的逆否命题,数列发散

答案:数列发散。

练习 3

证明数列 xn=1nx_n = \frac{1}{n} 收敛于 0。

参考答案

解题思路: 利用定义证明数列收敛。

详细步骤

  1. 对于任意 ε>0\varepsilon > 0,取 N=1εN = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} \right\rceil

  2. n>Nn > N 时,xn0=1n<1Nε|x_n - 0| = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} \leq \varepsilon

  3. 因此 limxn=0\lim x_n = 0

答案:数列收敛于 0。

练习 4

判断数列 xn=n2+1n2+nx_n = \frac{n^2 + 1}{n^2 + n} 的极限符号。

参考答案

解题思路: 先求极限,然后利用保号性准则。

详细步骤

  1. limnn2+1n2+n=limn1+1n21+1n=1>0\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{n^2 + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n}} = 1 > 0

  2. 由保号性准则,存在 NN,使得当 n>Nn > N 时,xn>0x_n > 0

  3. 因此数列从某一项开始都是正数

答案:极限为正数,数列从某一项开始都是正数。

练习 5

证明数列 xn=sinnπ2x_n = \sin \frac{n\pi}{2} 发散。

参考答案

解题思路: 利用子数列准则,找到收敛于不同极限的子数列。

详细步骤

  1. 取子数列 {x4n}\{x_{4n}\}x4n=sin(2nπ)=0x_{4n} = \sin(2n\pi) = 0,极限为 0

  2. 取子数列 {x4n+1}\{x_{4n+1}\}x4n+1=sin(2nπ+π2)=1x_{4n+1} = \sin(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = 1,极限为 1

  3. 由于存在两个收敛于不同极限的子数列,原数列发散

答案:数列发散。

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