指数函数极限

指数函数极限是极限理论中的重要公式，在极限计算中经常用到。

基本形式

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

详细推导过程

步骤 1：变量代换

• 令 $t = e^x - 1$
• 则 $e^x = 1 + t$
• 两边取对数：$x = \ln(1 + t)$

步骤 2：极限转换 当 $x \to 0$ 时：

• 由于 $t = e^x - 1$，当 $x \to 0$ 时，$e^x \to 1$，所以 $t \to 0$

步骤 3：建立等式 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\ln(1 + t)}$

步骤 4：利用第二个重要极限 第二个重要极限：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

第二个重要极限的详细解释：

第二个重要极限的原始形式是： $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

通过变量代换，可以得到倒数形式： $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

两边取对数： $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln(1 + x) = 1$

即： $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$

利用指数和对数的逆运算关系，最终得到： $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

因此： $\lim_{t \to 0} \frac{t}{\ln(1 + t)} = 1$

关键理解：这个等式的核心思想是指数函数和对数函数互为逆运算。通过变量代换，将指数函数的极限转化为对数函数的极限，最终利用已知的第二个重要极限得到结果。

推广形式

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{kx} - 1}{x} = k$

等价无穷小

利用这个重要极限，我们可以得到重要的等价无穷小：

• 当 $x \to 0$ 时，$e^x - 1 \sim x$

应用例子

例子 1

求 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$

解： $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = 2$

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练习题

练习 1

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x}$。

参考答案

解题思路：利用指数函数极限的推广形式。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} = 3$

答案：极限值为 3。

练习 2

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{5x} - 1}{2x}$。

参考答案

解题思路：利用指数函数极限的推广形式和变量代换。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{e^{5x} - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{5}{2} \cdot \frac{e^{5x} - 1}{5x} = \frac{5}{2} \cdot 1 = \frac{5}{2}$

答案：极限值为 $\frac{5}{2}$。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$e$	数学符号	自然常数	自然对数的底数，约等于 2.71828
$\lim$	数学符号	极限	表示函数或数列的极限
$\to$	数学符号	趋向于	表示变量趋向于某个值
$\ln$	数学符号	自然对数	以 $e$ 为底的对数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
指数函数	exponential function	/ˌekspəˈnenʃəl ˈfʌŋkʃən/	以常数为底的幂函数
自然常数	natural constant	/ˈnætʃərəl ˈkɒnstənt/	自然对数的底数 $e$
自然对数	natural logarithm	/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪðəm/	以 $e$ 为底的对数
等价无穷小	equivalent infinitesimal	/ɪˈkwɪvələnt ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/	两个无穷小的比值趋于 1
变量代换	variable substitution	/ˈveəriəbəl ˌsʌbstɪˈtjuːʃən/	用新变量替换原变量

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