复合函数的极限

复合函数的极限是极限运算中的重要内容，它描述了如何计算由两个函数复合而成的函数的极限。

定理

复合函数的极限定理

设 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，$\lim_{u \to A} g(u) = B$，且 $f(x) \neq A$（当 $x \neq x_0$ 时），则：

$\lim_{x \to x_0} g(f(x)) = B$

定理的条件

1. 内层函数的极限存在

$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 必须存在

2. 外层函数在内层极限处连续

$\lim_{u \to A} g(u) = B$ 必须存在

3. 内层函数不等于极限值

$f(x) \neq A$（当 $x \neq x_0$ 时）

这个条件保证了在求极限过程中，$u = f(x)$ 不会取到 $A$，从而可以使用 $\lim_{u \to A} g(u) = B$。

应用例子

例子 1

计算 $\lim_{x \to 0} \sin(x^2)$

解：

1. 令 $u = x^2$，则当 $x \to 0$ 时，$u \to 0$

2. $\lim_{x \to 0} \sin(x^2) = \lim_{u \to 0} \sin u = 0$

例子 2

计算 $\lim_{x \to 1} e^{x-1}$

解：

1. 令 $u = x - 1$，则当 $x \to 1$ 时，$u \to 0$

2. $\lim_{x \to 1} e^{x-1} = \lim_{u \to 0} e^u = e^0 = 1$

例子 3

计算 $\lim_{x \to 0} \ln(1 + x^2)$

解：

1. 令 $u = x^2$，则当 $x \to 0$ 时，$u \to 0$

2. $\lim_{x \to 0} \ln(1 + x^2) = \lim_{u \to 0} \ln(1 + u) = \ln 1 = 0$

连续函数的复合

如果 $g(u)$ 在 $u = A$ 处连续，即 $\lim_{u \to A} g(u) = g(A)$，则：

连续函数的复合极限

$\lim_{x \to x_0} g(f(x)) = g(\lim_{x \to x_0} f(x)) = g(A)$

这个结论表明，对于连续函数，极限符号可以与函数符号交换顺序。

例子

• $\lim_{x \to 0} e^{x^2} = e^{\lim_{x \to 0} x^2} = e^0 = 1$
• $\lim_{x \to 1} \sin(x - 1) = \sin(\lim_{x \to 1} (x - 1)) = \sin 0 = 0$
• $\lim_{x \to 0} \ln(1 + x^2) = \ln(\lim_{x \to 0} (1 + x^2)) = \ln 1 = 0$

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练习题

练习 1

计算极限 $\lim_{x \to 0} \cos(x^2)$。

参考答案

解题思路：利用复合函数的极限定理。

详细步骤：

1. 令 $u = x^2$，则当 $x \to 0$ 时，$u \to 0$

2. $\lim_{x \to 0} \cos(x^2) = \lim_{u \to 0} \cos u = \cos 0 = 1$

答案：极限值为 1。

练习 2

计算极限 $\lim_{x \to 2} e^{x^2 - 4}$。

参考答案

解题思路：利用复合函数的极限定理。

详细步骤：

1. 令 $u = x^2 - 4$，则当 $x \to 2$ 时，$u \to 0$

2. $\lim_{x \to 2} e^{x^2 - 4} = \lim_{u \to 0} e^u = e^0 = 1$

答案：极限值为 1。

练习 3

计算极限 $\lim_{x \to 0} \ln(1 + \sin x)$。

参考答案

解题思路：利用复合函数的极限定理。

详细步骤：

1. 令 $u = \sin x$，则当 $x \to 0$ 时，$u \to 0$

2. $\lim_{x \to 0} \ln(1 + \sin x) = \lim_{u \to 0} \ln(1 + u) = \ln 1 = 0$

答案：极限值为 0。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\lim$	数学符号	极限	表示函数或数列的极限
$\to$	数学符号	趋向于	表示变量趋向于某个值
$f(x)$	数学符号	函数	表示函数
$g(u)$	数学符号	函数	表示函数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
复合函数	composite function	/kəmˈpɒzɪt ˈfʌŋkʃən/	由两个函数复合而成的函数
内层函数	inner function	/ˈɪnə ˈfʌŋkʃən/	复合函数中先作用的函数
外层函数	outer function	/ˈaʊtə ˈfʌŋkʃən/	复合函数中后作用的函数
连续函数	continuous function	/kənˈtɪnjuəs ˈfʌŋkʃən/	在某点或某区间上连续的函数

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