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等价无穷小替换法

等价无穷小替换法是求解极限的重要方法。通过将复杂的无穷小量替换为等价的简单无穷小量,可以大大简化极限计算。

基本原理

如果 α(x)\alpha(x)β(x)\beta(x) 是等价无穷小,即 α(x)β(x)\alpha(x) \sim \beta(x),那么: limxaf(x)α(x)=limxaf(x)β(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{\alpha(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{\beta(x)}

等价无穷小的定义

xax \to a 时,如果 limxaα(x)β(x)=1\lim_{x \to a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1,则称 α(x)\alpha(x)β(x)\beta(x) 是等价无穷小,记作 α(x)β(x)\alpha(x) \sim \beta(x)

常用等价无穷小关系

1. 基本等价关系(x0x \to 0

sinxx\sin x \sim x tanxx\tan x \sim x arcsinxx\arcsin x \sim x arctanxx\arctan x \sim x ln(1+x)x\ln(1 + x) \sim x ex1xe^x - 1 \sim x (1+x)a1ax(1 + x)^a - 1 \sim ax

2. 复合等价关系

sin(x2)x2\sin(x^2) \sim x^2 ln(1+x2)x2\ln(1 + x^2) \sim x^2 ex21x2e^{x^2} - 1 \sim x^2

3. 高阶等价关系

sinxxx36\sin x - x \sim -\frac{x^3}{6} tanxxx33\tan x - x \sim \frac{x^3}{3} ln(1+x)xx22\ln(1 + x) - x \sim -\frac{x^2}{2}

典型例题

例题 1

求极限 limx0sin3xtan2x\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x}

参考答案

解题思路: 这是一个 00\frac{0}{0} 型不定式,可以使用等价无穷小替换。

详细步骤

  1. 检查不定式类型:

    • x0x \to 0 时,分子 sin3x0\sin 3x \to 0
    • x0x \to 0 时,分母 tan2x0\tan 2x \to 0
    • 因此是 00\frac{0}{0} 型不定式
  2. 使用等价无穷小替换:

    • sin3x3x\sin 3x \sim 3x
    • tan2x2x\tan 2x \sim 2x
  3. 替换后求极限: limx0sin3xtan2x=limx03x2x=limx032=32\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

答案limx0sin3xtan2x=32\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} = \frac{3}{2}

例题 2

求极限 limx0ln(1+x2)x2\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2}

参考答案

解题思路: 这是一个 00\frac{0}{0} 型不定式,可以使用等价无穷小替换。

详细步骤

  1. 检查不定式类型:

    • x0x \to 0 时,分子 ln(1+x2)0\ln(1 + x^2) \to 0
    • x0x \to 0 时,分母 x20x^2 \to 0
    • 因此是 00\frac{0}{0} 型不定式
  2. 使用等价无穷小替换:

    • ln(1+x2)x2\ln(1 + x^2) \sim x^2
  3. 替换后求极限: limx0ln(1+x2)x2=limx0x2x2=limx01=1\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} 1 = 1

答案limx0ln(1+x2)x2=1\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x^2)}{x^2} = 1

练习题

练习 1

求极限 limx0ex1sinx\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x}

参考答案

解题思路: 这是一个 00\frac{0}{0} 型不定式,可以使用等价无穷小替换。

详细步骤

  1. 检查不定式类型:

    • x0x \to 0 时,分子 ex10e^x - 1 \to 0
    • x0x \to 0 时,分母 sinx0\sin x \to 0
    • 因此是 00\frac{0}{0} 型不定式
  2. 使用等价无穷小替换:

    • ex1xe^x - 1 \sim x
    • sinxx\sin x \sim x
  3. 替换后求极限: limx0ex1sinx=limx0xx=limx01=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0} 1 = 1

答案limx0ex1sinx=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = 1

练习 2

求极限 limx0tanxxx3\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}

参考答案

解题思路: 这是一个 00\frac{0}{0} 型不定式,需要使用高阶等价关系。

详细步骤

  1. 检查不定式类型:

    • x0x \to 0 时,分子 tanxx0\tan x - x \to 0
    • x0x \to 0 时,分母 x30x^3 \to 0
    • 因此是 00\frac{0}{0} 型不定式
  2. 使用高阶等价关系:

    • tanxxx33\tan x - x \sim \frac{x^3}{3}
  3. 替换后求极限: limx0tanxxx3=limx0x33x3=limx013=13\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3}}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

答案limx0tanxxx3=13\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} = \frac{1}{3}

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