等价无穷小替换法
等价无穷小替换法是求解极限的重要方法。通过将复杂的无穷小量替换为等价的简单无穷小量,可以大大简化极限计算。
基本原理
如果 α(x) 和 β(x) 是等价无穷小,即 α(x)∼β(x),那么:
limx→aα(x)f(x)=limx→aβ(x)f(x)
符号 ∼ 是等价符号,表示两个无穷小量之间的等价关系。
等价无穷小的定义
当 x→a 时,如果 limx→aβ(x)α(x)=1,则称 α(x) 和 β(x) 是等价无穷小,记作 α(x)∼β(x)。
常用等价无穷小关系
1. 基本等价关系(x→0)
sinx∼x
tanx∼x
arcsinx∼x
arctanx∼x
ln(1+x)∼x
ex−1∼x
(1+x)a−1∼ax
2. 复合等价关系
sin(x2)∼x2
ln(1+x2)∼x2
ex2−1∼x2
3. 高阶等价关系
sinx−x∼−6x3
tanx−x∼3x3
ln(1+x)−x∼−2x2
典型例题
例题 1
求极限 limx→0tan2xsin3x
参考答案
解题思路:
这是一个 00 型不定式,可以使用等价无穷小替换。
详细步骤:
-
检查不定式类型:
- 当 x→0 时,分子 sin3x→0
- 当 x→0 时,分母 tan2x→0
- 因此是 00 型不定式
-
使用等价无穷小替换:
- sin3x∼3x
- tan2x∼2x
-
替换后求极限:
limx→0tan2xsin3x=limx→02x3x=limx→023=23
答案:
limx→0tan2xsin3x=23
例题 2
求极限 limx→0x2ln(1+x2)
参考答案
解题思路:
这是一个 00 型不定式,可以使用等价无穷小替换。
详细步骤:
-
检查不定式类型:
- 当 x→0 时,分子 ln(1+x2)→0
- 当 x→0 时,分母 x2→0
- 因此是 00 型不定式
-
使用等价无穷小替换:
- ln(1+x2)∼x2
-
替换后求极限:
limx→0x2ln(1+x2)=limx→0x2x2=limx→01=1
答案:
limx→0x2ln(1+x2)=1
练习题
练习 1
求极限 limx→0sinxex−1
参考答案
解题思路:
这是一个 00 型不定式,可以使用等价无穷小替换。
详细步骤:
-
检查不定式类型:
- 当 x→0 时,分子 ex−1→0
- 当 x→0 时,分母 sinx→0
- 因此是 00 型不定式
-
使用等价无穷小替换:
- ex−1∼x
- sinx∼x
-
替换后求极限:
limx→0sinxex−1=limx→0xx=limx→01=1
答案:
limx→0sinxex−1=1
练习 2
求极限 limx→0x3tanx−x
参考答案
解题思路:
这是一个 00 型不定式,需要使用高阶等价关系。
详细步骤:
-
检查不定式类型:
- 当 x→0 时,分子 tanx−x→0
- 当 x→0 时,分母 x3→0
- 因此是 00 型不定式
-
使用高阶等价关系:
- tanx−x∼3x3
-
替换后求极限:
limx→0x3tanx−x=limx→0x33x3=limx→031=31
答案:
limx→0x3tanx−x=31