综合练习

解题思路： 这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，可以使用因式分解法。

详细步骤：

1. 检查不定式类型：

   • 当 $x = 1$ 时，分子 $1 - 3 + 3 - 1 = 0$
   • 当 $x = 1$ 时，分母 $1 - 2 + 1 = 0$
   • 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式

2. 对分子进行因式分解： $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$

3. 对分母进行因式分解： $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

4. 约去零因子： $\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)^3}{(x - 1)^2} = \lim_{x \to 1} (x - 1) = 0$

答案： $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{x^2 - 2x + 1} = 0$

解题思路： 这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，含有根号，可以使用有理化方法。

详细步骤：

1. 检查不定式类型：

   • 当 $x \to 0$ 时，分子 $\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x} \to 0$
   • 当 $x \to 0$ 时，分母 $x \to 0$
   • 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式

2. 有理化分子： $\frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x} = \frac{(\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x})(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})}{x(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})}$

3. 化简： $\frac{(\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x})(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})}{x(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})} = \frac{(1 + x) - (1 - x)}{x(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})} = \frac{2x}{x(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})}$

4. 约去 $x$： $\frac{2x}{x(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})} = \frac{2}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}}$

5. 求极限： $\lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}} = \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 - 0}} = \frac{2}{1 + 1} = 1$

答案： $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x} = 1$

解题思路： 这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，可以使用洛必达法则或等价无穷小替换。

详细步骤：

1. 检查不定式类型：

   • 当 $x \to 0$ 时，分子 $\sin x - x \to 0$
   • 当 $x \to 0$ 时，分母 $x^3 \to 0$
   • 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式

2. 使用洛必达法则：

   • $(\sin x - x)' = \cos x - 1$
   • $(x^3)' = 3x^2$

3. 求导数的极限： $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2}$ 这仍然是 $\frac{0}{0}$ 型不定式

4. 再次使用洛必达法则：

   • $(\cos x - 1)' = -\sin x$
   • $(3x^2)' = 6x$

5. 求二阶导数的极限： $\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x} = -\frac{1}{6} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = -\frac{1}{6}$

答案： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$

解题思路： 这是一个 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式，可以使用洛必达法则或直接比较最高次项。

详细步骤：

1. 检查不定式类型：

   • 当 $x \to \infty$ 时，分子和分母都趋向无穷大
   • 因此是 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式

2. 方法一：直接比较最高次项 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 4}{x^3 + x^2 + x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3(1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} + \frac{4}{x^3})}{x^3(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3})} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} + \frac{4}{x^3}}{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}} = 1$

3. 方法二：使用洛必达法则

   • 分子导数：$3x^2 + 4x + 3$
   • 分母导数：$3x^2 + 2x + 1$
   • 仍然是 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式
   • 再次求导：分子 $6x + 4$，分母 $6x + 2$
   • 仍然是 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式
   • 再次求导：分子 $6$，分母 $6$
   • 最终极限为 $1$

答案： $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 4}{x^3 + x^2 + x + 1} = 1$

解题思路： 这是一个直接计算困难的极限，可以使用夹逼准则。

详细步骤：

1. 分析函数特点：

   • 当 $x \to 0$ 时，$x^2 \to 0$
   • $\sin \frac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$ 之间振荡

2. 构造不等式：

   • 由于 $-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$
   • 所以 $-x^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq x^2$

3. 求边界函数的极限：

   • $\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0$
   • $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$

4. 应用夹逼准则：

   • 由于 $-x^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq x^2$
   • 且 $\lim_{x \to 0} (-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0$
   • 所以 $\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0$

答案： $\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0$

解题思路： 这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，可以使用洛必达法则。

详细步骤：

1. 检查不定式类型：

   • 当 $x \to 0$ 时，分子 $e^x - 1 - x \to 0$
   • 当 $x \to 0$ 时，分母 $x^2 \to 0$
   • 因此是 $\frac{0}{0}$ 型不定式

2. 使用洛必达法则：

   • $(e^x - 1 - x)' = e^x - 1$
   • $(x^2)' = 2x$

3. 求导数的极限： $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$ 这仍然是 $\frac{0}{0}$ 型不定式

4. 再次使用洛必达法则：

   • $(e^x - 1)' = e^x$
   • $(2x)' = 2$

5. 求二阶导数的极限： $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}$

答案： $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2}$