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高等数学之极限的世界

柯西收敛准则

柯西收敛准则是判断数列收敛性的重要工具，它不依赖于极限的具体值，而是通过数列内部的性质来判断收敛性。

定理

数列 {xn}\{x_n\} 收敛的充要条件是：对于任意 ε>0\varepsilon > 0，存在正整数 NN，使得当 m,n>Nm, n > N 时，∣xm−xn∣<ε|x_m - x_n| < \varepsilon。

几何意义

柯西准则的几何意义是：如果数列收敛，那么从某一项开始，数列中任意两项的距离都可以任意小。

证明思路

必要性（收敛数列满足柯西条件）

  1. 设 lim⁡xn=A\lim x_n = A
  2. 对于任意 ε>0\varepsilon > 0，存在 NN，使得当 n>Nn > N 时，∣xn−A∣<ε2\vert x_n - A \vert < \frac{\varepsilon}{2}
  3. 当 m,n>Nm, n > N 时，∣xm−xn∣≤∣xm−A∣+∣xn−A∣<ε2+ε2=ε\vert x_m - x_n \vert \leq \vert x_m - A \vert + \vert x_n - A \vert < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon

充分性（满足柯西条件的数列收敛）

  1. 首先证明满足柯西条件的数列有界
  2. 利用有界性，构造子数列
  3. 证明子数列收敛
  4. 利用柯西条件，证明原数列收敛于同一极限

应用场景

何时使用柯西准则

  • 数列的单调性不明显
  • 需要证明收敛性但无法求出极限
  • 数列有复杂的递推关系
  • 数列涉及无理数或超越数

练习题

练习 1

证明数列 xn=∑k=1n1k2x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} 收敛。

参考答案

解题思路： 利用柯西准则，证明数列满足柯西条件。

详细步骤：

  1. 对于任意 ε>0\varepsilon > 0，取 N=⌈1ε⌉N = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} \right\rceil

  2. 当 m>n>Nm > n > N 时： ∣xm−xn∣=∑k=n+1m1k2<∑k=n+1m1k(k−1)=1n−1m<1n<ε|x_m - x_n| = \sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{k^2} < \sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} < \frac{1}{n} < \varepsilon

  3. 因此数列满足柯西条件，收敛

答案：数列收敛。

练习 2

证明数列 xn=∑k=1n1kx_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} 发散。

参考答案

解题思路： 利用柯西准则的逆否命题，证明数列不满足柯西条件。

详细步骤：

  1. 取 ε=12\varepsilon = \frac{1}{2}

  2. 对于任意 NN，取 n=Nn = N，m=2Nm = 2N

  3. ∣xm−xn∣=∑k=N+12N1k≥N⋅12N=12=ε|x_m - x_n| = \sum_{k=N+1}^{2N} \frac{1}{k} \geq N \cdot \frac{1}{2N} = \frac{1}{2} = \varepsilon

  4. 因此数列不满足柯西条件，发散

答案：数列发散。

练习 3

证明数列 xn=11+122+132+⋯+1n2x_n = \frac{1}{1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} 收敛。

参考答案

解题思路： 利用柯西准则和比较判别法。

详细步骤：

  1. 对于任意 ε>0\varepsilon > 0，取 N=⌈1ε⌉N = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} \right\rceil

  2. 当 m>n>Nm > n > N 时： ∣xm−xn∣=∑k=n+1m1k2<∑k=n+1m1k(k−1)=1n−1m<1n<ε|x_m - x_n| = \sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{k^2} < \sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} < \frac{1}{n} < \varepsilon

  3. 因此数列满足柯西条件，收敛

答案：数列收敛。

练习 4

判断数列 xn=sin⁡nx_n = \sin n 是否收敛。

参考答案

解题思路： 利用柯西准则的逆否命题，证明数列不满足柯西条件。

详细步骤：

  1. 取 ε=1\varepsilon = 1

  2. 对于任意 NN，可以找到 m,n>Nm, n > N，使得 ∣sin⁡m−sin⁡n∣≥1|\sin m - \sin n| \geq 1

  3. 这是因为 sin⁡\sin 函数在 [0,2π][0, 2\pi] 上的值域为 [−1,1][-1, 1]，且可以取到任意接近的值

  4. 因此数列不满足柯西条件，发散

答案：数列发散。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
ε\varepsilon希腊字母Epsilon（伊普西隆）表示一个任意小的正数
NN数学符号正整数表示一个足够大的正整数
m,nm, n数学符号正整数表示数列中的项数
{xn}\{x_n\}数学符号数列表示一个数列
∣xm−xn∣\vert x_m - x_n \vert数学符号绝对值表示数列中两项之间的距离
lim⁡\lim数学符号极限表示函数或数列的极限
∑\sum数学符号求和表示求和符号

中英对照

中文术语英文术语音标说明
柯西收敛准则Cauchy convergence criterion/ˈkoʊʃi kənˈvɜːdʒəns kraɪˈtɪəriən/判断数列收敛性的准则
充要条件necessary and sufficient condition/nɪˈsesəri ənd səˈfɪʃənt kənˈdɪʃən/既是必要条件又是充分条件的条件
必要性necessity/nɪˈsesɪti/收敛数列必须满足的条件
充分性sufficiency/səˈfɪʃənsi/满足条件则数列收敛
有界性boundedness/ˈbaʊndɪdnəs/数列或函数有界的性质
子数列subsequence/ˈsʌbˌsiːkwəns/从原数列中选取部分项组成的数列
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