柯西收敛准则

柯西收敛准则是判断数列收敛性的重要工具，它不依赖于极限的具体值，而是通过数列内部的性质来判断收敛性。

定理

数列 $\{x_n\}$ 收敛的充要条件是：对于任意 $\varepsilon > 0$ ，存在正整数 $N$ ，使得当 $m, n > N$ 时， $|x_m - x_n| < \varepsilon$ 。

柯西准则的几何意义是：如果数列收敛，那么从某一项开始，数列中任意两项的距离都可以任意小。

设 $\lim x_n = A$
对于任意 $\varepsilon > 0$ ，存在 $N$ ，使得当 $n > N$ 时， $|x_n - A| < \frac{\varepsilon}{2}$
当 $m, n > N$ 时， $|x_m - x_n| \leq |x_m - A| + |x_n - A| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$

证明数列 $x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$ 收敛。

参考答案

解题思路：利用柯西准则，证明数列满足柯西条件。

详细步骤：

对于任意 $\varepsilon > 0$ ，取 $N = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} \right\rceil$
当 $m > n > N$ 时： $|x_m - x_n| = \sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{k^2} < \sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} < \frac{1}{n} < \varepsilon$
因此数列满足柯西条件，收敛

答案：数列收敛。

证明数列 $x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ 发散。

参考答案

解题思路：利用柯西准则的逆否命题，证明数列不满足柯西条件。

详细步骤：

取 $\varepsilon = \frac{1}{2}$
对于任意 $N$ ，取 $n = N$ ， $m = 2N$
$|x_m - x_n| = \sum_{k=N+1}^{2N} \frac{1}{k} \geq N \cdot \frac{1}{2N} = \frac{1}{2} = \varepsilon$
因此数列不满足柯西条件，发散

答案：数列发散。

证明数列 $x_n = \frac{1}{1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}$ 收敛。

参考答案

解题思路：利用柯西准则和比较判别法。

详细步骤：

对于任意 $\varepsilon > 0$ ，取 $N = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} \right\rceil$
当 $m > n > N$ 时： $|x_m - x_n| = \sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{k^2} < \sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} < \frac{1}{n} < \varepsilon$
因此数列满足柯西条件，收敛

答案：数列收敛。

判断数列 $x_n = \sin n$ 是否收敛。

参考答案

解题思路：利用柯西准则的逆否命题，证明数列不满足柯西条件。

详细步骤：

答案：数列发散。