极限的基本概念

极限是微积分的灵魂，描述了函数值在一个点附近的变化趋势。理解极限概念是学习微积分的基础。

极限的定义

函数极限

函数极限的定义

当 $x$ 趋向于 $x_0$ 时，$f(x)$ 趋向于 $A$，记作：

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$$

数学语言：对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当 $0 < \vert x - x_0 \vert < \delta$ 时，恒有 $\vert f(x) - A \vert < \varepsilon$。

几何意义：函数图像在 $x_0$ 附近无限接近 $y = A$ 这条水平线。

数列极限

数列极限的定义

当 $n$ 趋向于无穷大时，$x_n$ 趋向于 $A$，记作：

$$\lim_{n \to \infty} x_n = A$$

数学语言：对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，恒有 $\vert x_n - A \vert < \varepsilon$。

例子：

• $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
• $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$

左极限与右极限

左极限

左极限的定义

当 $x$ 从左侧趋向于 $x_0$ 时，$f(x)$ 的极限，记作：

$$\lim_{x \to x_0^-} f(x)$$

数学语言：对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当 $x_0 - \delta < x < x_0$ 时，恒有 $\vert f(x) - A \vert < \varepsilon$。

右极限

右极限的定义

当 $x$ 从右侧趋向于 $x_0$ 时，$f(x)$ 的极限，记作：

$$\lim_{x \to x_0^+} f(x)$$

数学语言：对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当 $x_0 < x < x_0 + \delta$ 时，恒有 $\vert f(x) - A \vert < \varepsilon$。

极限存在的充要条件

定理：函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处极限存在的充要条件是其左、右极限都存在且相等。

极限存在的充要条件

$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$

例子：

• 函数 $f(x) = \frac{|x|}{x}$ 在 $x = 0$ 处的左极限为 $-1$，右极限为 $1$，因此在该点极限不存在。

极限的性质

唯一性

性质：如果极限存在，则极限值是唯一的。

证明：假设 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 且 $\lim_{x \to x_0} f(x) = B$，则 $A = B$。

有界性

性质：如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$，则存在 $x_0$ 的某个邻域，使得 $f(x)$ 在该邻域内有界。

推论：如果函数在某点有极限，则在该点的某个邻域内函数有界。

保号性

性质：如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0$，则存在 $x_0$ 的某个邻域，使得在该邻域内 $f(x) > 0$。

推论：如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A < 0$，则存在 $x_0$ 的某个邻域，使得在该邻域内 $f(x) < 0$。

极限的几何解释

函数极限的几何意义

• 当 $x$ 无限接近 $x_0$ 时，函数值 $f(x)$ 无限接近常数 $A$
• 函数图像在 $x_0$ 附近”聚集”在 $y = A$ 这条水平线附近
• 无论从哪个方向接近 $x_0$，函数值都趋向于同一个值

数列极限的几何意义

• 数列的点在数轴上无限接近某个点 $A$
• 从某个项开始，所有项都落在 $A$ 的任意小邻域内
• 数列的”尾巴”越来越接近极限值

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练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 在 $x = 1$ 处的极限是否存在。

参考答案

解题思路： 需要分别计算左极限和右极限，看它们是否相等。

详细步骤：

1. 计算右极限：$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} (x+1) = 2$

2. 计算左极限：$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} (x+1) = 2$

3. 由于左极限等于右极限，所以极限存在。

答案：极限存在，值为 2。

练习 2

证明数列 $x_n = \frac{n}{n+1}$ 的极限为 1。

参考答案

解题思路： 使用极限的定义，证明对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时，$|x_n - 1| < \varepsilon$。

详细步骤：

1. $|x_n - 1| = \left|\frac{n}{n+1} - 1\right| = \left|\frac{n-(n+1)}{n+1}\right| = \frac{1}{n+1}$

2. 要使 $\frac{1}{n+1} < \varepsilon$，需要 $n+1 > \frac{1}{\varepsilon}$，即 $n > \frac{1}{\varepsilon} - 1$

3. 取 $N = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} - 1 \right\rfloor + 1$，则当 $n > N$ 时，$|x_n - 1| < \varepsilon$

答案：数列极限为 1。

练习 3

判断函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处的极限是否存在。

参考答案

解题思路： 分别计算左极限和右极限，看它们是否相等。

详细步骤：

1. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$

2. 左极限：$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$

3. 由于左极限不等于右极限，所以极限不存在。

答案：极限不存在。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\varepsilon$	希腊字母	Epsilon（伊普西隆）	表示一个任意小的正数
$\delta$	希腊字母	Delta（德尔塔）	表示与 $\varepsilon$ 相关的正数
$N$	数学符号	正整数	表示一个足够大的正整数
$\lim$	数学符号	极限	表示函数或数列的极限
$\to$	数学符号	趋向于	表示变量趋向于某个值
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷大
$\vert x - x_0 \vert$	数学符号	绝对值	表示 $x$ 与 $x_0$ 的距离

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
极限	limit	/ˈlɪmɪt/	函数或数列在某个点或无穷远处的极限值
函数极限	limit of a function	/ˈlɪmɪt əv ə ˈfʌŋkʃən/	函数在某点的极限
数列极限	limit of a sequence	/ˈlɪmɪt əv ə ˈsiːkwəns/	数列在无穷远处的极限
左极限	left-hand limit	/left hænd ˈlɪmɪt/	从左侧趋向于某点的极限
右极限	right-hand limit	/raɪt hænd ˈlɪmɪt/	从右侧趋向于某点的极限
唯一性	uniqueness	/juːˈniːknəs/	极限值唯一的性质
有界性	boundedness	/ˈbaʊndɪdnəs/	函数在邻域内有界的性质
保号性	sign preservation	/saɪn ˌprezəˈveɪʃən/	极限值的符号在邻域内保持不变的性质
邻域	neighborhood	/ˈneɪbəhʊd/	某点附近的区间
充要条件	necessary and sufficient condition	/nɪˈsesəri ənd səˈfɪʃənt kənˈdɪʃən/	既是必要条件又是充分条件的条件

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