夹逼准则

夹逼准则（Squeeze Theorem）是极限存在准则中最直观和实用的准则之一，它通过”夹住”目标函数来确定其极限。

其他名称

夹逼准则在不同文献中还有以下名称：

• 夹值定理（Sandwich Theorem）
• 三明治定理（Sandwich Theorem）
• 挤压定理（Squeeze Theorem）
• 夹逼定理（Pinching Theorem）
• 中间值定理（Intermediate Value Theorem for Limits）

这些名称都形象地描述了该准则的核心思想：通过两个已知极限的函数来”夹住”目标函数，从而确定其极限。

定理

如果在某点的邻域内，恒有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$，且 $\lim g(x) = \lim h(x) = A$，则 $\lim f(x) = A$。

几何意义

夹逼准则的几何意义是：如果函数 $f(x)$ 被两个函数 $g(x)$ 和 $h(x)$ “夹住”，而这两个函数的极限都趋向于同一个值 $A$，那么 $f(x)$ 的极限也必然是 $A$。

证明思路

1. 由于 $\lim g(x) = A$，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta_1$ 时，$|g(x) - A| < \varepsilon$

2. 由于 $\lim h(x) = A$，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_2 > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta_2$ 时，$|h(x) - A| < \varepsilon$

3. 取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$，则当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时：

   • $A - \varepsilon < g(x) \leq f(x) \leq h(x) < A + \varepsilon$
   • 因此 $|f(x) - A| < \varepsilon$

4. 所以 $\lim f(x) = A$

应用场景

何时使用夹逼准则

• 函数被其他函数”夹住”
• 直接计算极限比较困难
• 函数有振荡性质
• 涉及三角函数的有界性

练习题

练习 1

利用夹逼准则求极限 $\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x}$。

参考答案

解题思路： 利用 $\sin$ 函数的有界性构造夹逼不等式。

详细步骤：

1. 由于 $-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$，所以 $-x^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq x^2$

2. $\lim_{x \to 0} (-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0$

3. 由夹逼准则，$\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0$

答案：极限值为 0。

练习 2

求极限 $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$。

参考答案

解题思路： 利用 $\sin$ 函数的有界性构造夹逼不等式。

详细步骤：

1. 由于 $-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$，所以 $-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|$

2. $\lim_{x \to 0} (-|x|) = \lim_{x \to 0} |x| = 0$

3. 由夹逼准则，$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$

答案：极限值为 0。

练习 3

求极限 $\lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x}$。

参考答案

解题思路： 利用 $\cos$ 函数的有界性构造夹逼不等式。

详细步骤：

1. 由于 $-1 \leq \cos \frac{1}{x} \leq 1$，所以 $-x^2 \leq x^2 \cos \frac{1}{x} \leq x^2$

2. $\lim_{x \to 0} (-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0$

3. 由夹逼准则，$\lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x} = 0$

答案：极限值为 0。

练习 4

求极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$。

参考答案

解题思路： 利用 $\sin$ 函数的有界性构造夹逼不等式。

详细步骤：

1. 由于 $-1 \leq \sin x \leq 1$，所以 $-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$

2. $\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

3. 由夹逼准则，$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$

答案：极限值为 0。