第一个重要极限

第一个重要极限是极限计算中最基础和最重要的极限之一，它建立了正弦函数与线性函数之间的关系。

图像展示

下面的图像展示了 $\sin x$ 和 $x$ 的函数图像对比，以及它们的比值 $\frac{\sin x}{x}$ 。从图像中可以清楚地看到，当 $x$ 接近 0 时， $\sin x$ 和 $x$ 的图像几乎重合，它们的比值趋近于 1。

不过，这只是观察的结果，是不是真的呢？我们需要通过数学证明来验证这个极限。

几何图形

在下图所示的单位圆中，红色三角形的面积与蓝色扇形的面积，随着角度的变小，差距越来越小。

角度调整28.6°

现在：

假设角度为 $x$
圆的半径为 1

请你计算一下，三角形的面积和扇形的面积分别是多少？

参考答案

三角形的面积是： $\displaystyle S_{\text{三角形}} = \frac{\sin x}{2}$

扇形的面积是： $\displaystyle S_{\text{扇形}} = \frac{x}{2}$

通过观察，当角度接近 0 时，三角形和扇形的图像几乎重合，它们的比值趋近于 1，也就是 $\frac{\sin x}{x}$ 在 $x$ 趋向于0的时候的极限值为 1。

不过，这只是观察的结果，是不是真的呢？我们需要通过数学证明来验证这个极限。

如果你忘记了这个极限的表达式和值，可以通过这个场景来想起它。

极限表达式

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

证明思路

很很多种方法可以证明这个极限，下面介绍常用的几种方法。

夹逼准则证明

可以证明 $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ （当 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ 时）
由于 $\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ ， $\lim_{x \to 0} 1 = 1$
由夹逼准则， $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

推广形式

1. 一般形式

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{x} = k$

证明： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{x} = \lim_{x \to 0} k \cdot \frac{\sin kx}{kx} = k \cdot 1 = k$

2. 复合形式

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin f(x)}{f(x)} = 1$

其中 $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$

3. 倒数形式

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$

图像

最后，我们看一下 $\frac{\sin x}{x}$ 的完整图像。

优美又神秘，似乎藏着宇宙的终极秘密一样。

练习题

练习 1

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x}$ 。

参考答案

解题思路：利用第一个重要极限的推广形式。

详细步骤：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} 5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x}$
$= 5 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 5 \cdot 1 = 5$

答案：极限值为 5。

练习 2

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^3}{x^3}$ 。

参考答案

解题思路：利用变量代换和第一个重要极限。

详细步骤：

令 $t = x^3$ ，则当 $x \to 0$ 时， $t \to 0$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^3}{x^3} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

答案：极限值为 1。

练习 3

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 2x}$ 。

参考答案

解题思路：利用第一个重要极限和等价无穷小。

详细步骤：

当 $x \to 0$ 时， $\sin 4x \sim 4x$ ， $\sin 2x \sim 2x$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{4x}{2x} = 2$

答案：极限值为 2。

练习 4

在单位圆中，当角度 $x$ 很小时，弧长与弦长的关系是什么？这与第一个重要极限有什么关系？

参考答案

解题思路：从几何角度理解弧长、弦长与第一个重要极限的关系。

详细步骤：

在单位圆中，角度 $x$ 对应的弧长为 $x$ （以弧度为单位）
对应的弦长为 $2\sin(\frac{x}{2})$
当 $x$ 很小时， $\sin(\frac{x}{2}) \approx \frac{x}{2}$ ，所以弦长 $\approx 2 \cdot \frac{x}{2} = x$
这说明在很小的角度下，弧长近似等于弦长
这正是第一个重要极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 的几何基础

答案：在很小的角度下，弧长近似等于弦长，这为第一个重要极限提供了几何解释。

练习 5

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$ 。

参考答案

解题思路：利用第一个重要极限的推广形式。

详细步骤：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}$
$= 3 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$

答案：极限值为 3。

练习 6

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{x^2}$ 。

参考答案

解题思路：利用变量代换和第一个重要极限。

详细步骤：

令 $t = x^2$ ，则当 $x \to 0$ 时， $t \to 0$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{x^2} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

答案：极限值为 1。

练习 7

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}$ 。

参考答案

解题思路：利用第一个重要极限和等价无穷小。

详细步骤：

当 $x \to 0$ 时， $\sin 2x \sim 2x$ ， $\sin 3x \sim 3x$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x \cdot \frac{\sin 2x}{2x}}{3x \cdot \frac{\sin 3x}{3x}} = \frac{2}{3}$

答案：极限值为 $\frac{2}{3}$ 。

练习 8

使用面积比较的方法证明第一个重要极限。具体说明在单位圆中，当角度 $x$ 很小时，扇形面积与三角形面积的关系如何推导出 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 。

参考答案

解题思路：通过单位圆中扇形面积与三角形面积的比较来证明第一个重要极限。

详细步骤：

几何构造：
- 在单位圆中，取角度为 $x$ 的扇形
- 扇形由两条半径和一段圆弧围成
- 扇形内部有一个三角形，由两条半径和一条弦围成
面积计算：
- 扇形面积： $S_{\text{扇形}} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot x = \frac{x}{2}$
- 三角形面积： $S_{\text{三角形}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin x = \frac{\sin x}{2}$
面积关系：
- 当 $x$ 很小时，扇形面积与三角形面积非常接近
- 即： $\frac{x}{2} \approx \frac{\sin x}{2}$
- 因此： $x \approx \sin x$
极限推导：
- 当 $x \to 0$ 时， $\frac{\sin x}{x} \approx 1$
- 所以： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

答案：通过单位圆中扇形面积与三角形面积的比较，当角度 $x$ 趋向于 0 时，两个面积相等，从而证明了 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 。