第一个重要极限

三角形的面积是：$\displaystyle S_{\text{三角形}} = \frac{\sin x}{2}$

扇形的面积是：$\displaystyle S_{\text{扇形}} = \frac{x}{2}$

解题思路： 利用第一个重要极限的推广形式。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} 5 \cdot \frac{\sin 5x}{5x}$

2. $= 5 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 5 \cdot 1 = 5$

答案：极限值为 5。

解题思路： 利用变量代换和第一个重要极限。

详细步骤：

1. 令 $t = x^3$，则当 $x \to 0$ 时，$t \to 0$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^3}{x^3} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

答案：极限值为 1。

解题思路： 利用第一个重要极限和等价无穷小。

详细步骤：

1. 当 $x \to 0$ 时，$\sin 4x \sim 4x$，$\sin 2x \sim 2x$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{4x}{2x} = 2$

答案：极限值为 2。

解题思路： 从几何角度理解弧长、弦长与第一个重要极限的关系。

详细步骤：

1. 在单位圆中，角度 $x$ 对应的弧长为 $x$（以弧度为单位）

2. 对应的弦长为 $2\sin(\frac{x}{2})$

3. 当 $x$ 很小时，$\sin(\frac{x}{2}) \approx \frac{x}{2}$，所以弦长 $\approx 2 \cdot \frac{x}{2} = x$

4. 这说明在很小的角度下，弧长近似等于弦长

5. 这正是第一个重要极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 的几何基础

答案：在很小的角度下，弧长近似等于弦长，这为第一个重要极限提供了几何解释。

解题思路： 利用第一个重要极限的推广形式。

详细步骤：

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}$

2. $= 3 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$

答案：极限值为 3。

解题思路： 利用变量代换和第一个重要极限。

详细步骤：

1. 令 $t = x^2$，则当 $x \to 0$ 时，$t \to 0$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{x^2} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

答案：极限值为 1。

解题思路： 利用第一个重要极限和等价无穷小。

详细步骤：

1. 当 $x \to 0$ 时，$\sin 2x \sim 2x$，$\sin 3x \sim 3x$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x \cdot \frac{\sin 2x}{2x}}{3x \cdot \frac{\sin 3x}{3x}} = \frac{2}{3}$

答案：极限值为 $\frac{2}{3}$。

解题思路： 通过单位圆中扇形面积与三角形面积的比较来证明第一个重要极限。

详细步骤：

1. 几何构造：

   • 在单位圆中，取角度为 $x$ 的扇形
   • 扇形由两条半径和一段圆弧围成
   • 扇形内部有一个三角形，由两条半径和一条弦围成

2. 面积计算：

   • 扇形面积：$S_{\text{扇形}} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot x = \frac{x}{2}$
   • 三角形面积：$S_{\text{三角形}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin x = \frac{\sin x}{2}$

3. 面积关系：

   • 当 $x$ 很小时，扇形面积与三角形面积非常接近
   • 即：$\frac{x}{2} \approx \frac{\sin x}{2}$
   • 因此：$x \approx \sin x$

4. 极限推导：

   • 当 $x \to 0$ 时，$\frac{\sin x}{x} \approx 1$
   • 所以：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

答案：通过单位圆中扇形面积与三角形面积的比较，当角度 $x$ 趋向于 0 时，两个面积相等，从而证明了 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。