极限的运算法则

极限的运算法则是计算极限的基础工具，掌握这些法则可以大大简化极限的计算过程。

基本运算法则

前提条件

设 $\lim f(x) = A$ ， $\lim g(x) = B$ ，其中 $A$ 和 $B$ 都是有限数。

四则运算法则

加法法则： $\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$
乘法法则： $\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$
除法法则： $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$ （其中 $B \neq 0$ ）
幂运算法则： $\lim [f(x)]^n = A^n$ （其中 $n$ 为正整数）

证明思路

以加法法则为例：

证明： $\lim [f(x) + g(x)] = A + B$

由于 $\lim f(x) = A$ ，对于任意 $\varepsilon > 0$ ，存在 $\delta_1 > 0$ ，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta_1$ 时， $|f(x) - A| < \frac{\varepsilon}{2}$
由于 $\lim g(x) = B$ ，对于任意 $\varepsilon > 0$ ，存在 $\delta_2 > 0$ ，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta_2$ 时， $|g(x) - B| < \frac{\varepsilon}{2}$
取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$ ，则当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时： $|f(x) + g(x) - (A + B)| \leq |f(x) - A| + |g(x) - B| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$
因此 $\lim [f(x) + g(x)] = A + B$

特殊情况

无穷小的运算

有限个无穷小的和仍是无穷小
有限个无穷小的积仍是无穷小
有界函数与无穷小的积仍是无穷小

无穷大的运算

有限个无穷大的积仍是无穷大
无穷大与有界函数的和仍是无穷大
无穷大与无穷小的积需要具体分析

不定式

在极限计算中，以下情况称为不定式，需要特殊处理：

$\frac{0}{0}$ 型：分子分母都趋向于 0
$\frac{\infty}{\infty}$ 型：分子分母都趋向于无穷大
$0 \cdot \infty$ 型：一个趋向于 0，一个趋向于无穷大
$\infty - \infty$ 型：两个都趋向于无穷大
$0^0$ 型：底数趋向于 0，指数趋向于 0
$\infty^0$ 型：底数趋向于无穷大，指数趋向于 0
$1^\infty$ 型：底数趋向于 1，指数趋向于无穷大

复合函数的极限

定理

设 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ ， $\lim_{u \to A} g(u) = B$ ，且 $f(x) \neq A$ （当 $x \neq x_0$ 时），则：

$\lim_{x \to x_0} g(f(x)) = B$

例子

$\lim_{x \to 0} \sin(x^2) = \sin(0) = 0$
$\lim_{x \to 1} e^{x-1} = e^0 = 1$

数列极限的运算法则

对于数列，运算法则与函数极限类似：

设 $\lim x_n = A$ ， $\lim y_n = B$ ，则：

$\lim(x_n \pm y_n) = A \pm B$
$\lim(x_n \cdot y_n) = A \cdot B$
$\lim\frac{x_n}{y_n} = \frac{A}{B}$ （其中 $B \neq 0$ ）

练习题

练习 1

计算极限 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ 。

参考答案

解题思路：先化简，再求极限。

详细步骤：

$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$ （当 $x \neq 2$ 时）
$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$

答案：极限值为 4。

练习 2

计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + x}{x}$ 。

参考答案

解题思路：利用极限的加法法则和重要极限。

详细步骤：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + x}{x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x} + \frac{x}{x}\right)$
$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} + \lim_{x \to 0} 1$
$= 1 + 1 = 2$

答案：极限值为 2。

练习 3

计算极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 + 2x}$ 。

参考答案

解题思路：分子分母同除以最高次项。

详细步骤：

$\frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 + 2x} = \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x}}$
$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x}}$
$= \frac{1 + 0 + 0}{1 + 0} = 1$

答案：极限值为 1。