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夹逼准则

夹逼准则是求解极限的重要方法,特别适用于直接计算困难的极限。通过构造两个已知极限的函数来”夹逼”目标函数,从而求出极限值。

基本原理

如果对于所有 xx(在某个去心邻域内),都有: f(x)g(x)h(x)f(x) \leq g(x) \leq h(x)

并且: limxaf(x)=limxah(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L

那么: limxag(x)=L\lim_{x \to a} g(x) = L

适用条件

1. 直接计算困难

  • 函数形式复杂
  • 无法使用常规方法
  • 涉及三角函数、指数函数等

2. 可以构造不等式

  • 能够找到上界和下界
  • 上界和下界的极限相等

3. 常见情况

  • 含有 sinx\sin xcosx\cos x 的函数
  • 含有 xsin1xx \sin \frac{1}{x} 的函数
  • 含有 xcos1xx \cos \frac{1}{x} 的函数

构造技巧

1. 利用三角函数的有界性

1sinx1-1 \leq \sin x \leq 1 1cosx1-1 \leq \cos x \leq 1

2. 利用绝对值

x0|x| \geq 0

3. 利用基本不等式

x20x^2 \geq 0 ex>0e^x > 0

典型例题

例题 1

求极限 limx0xsin1x\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}

参考答案

解题思路: 这是一个直接计算困难的极限,可以使用夹逼准则。

详细步骤

  1. 分析函数特点:

    • x0x \to 0 时,x0x \to 0
    • sin1x\sin \frac{1}{x}[1,1][-1, 1] 之间振荡
    • 无法直接计算
  2. 构造不等式:

    • 由于 1sin1x1-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1
    • 所以 xxsin1xx-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|
  3. 求边界函数的极限:

    • limx0(x)=0\lim_{x \to 0} (-|x|) = 0
    • limx0x=0\lim_{x \to 0} |x| = 0
  4. 应用夹逼准则:

    • 由于 xxsin1xx-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|
    • limx0(x)=limx0x=0\lim_{x \to 0} (-|x|) = \lim_{x \to 0} |x| = 0
    • 所以 limx0xsin1x=0\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0

答案limx0xsin1x=0\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0

例题 2

求极限 limxsinxx\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}

参考答案

解题思路: 这是一个 0\frac{0}{\infty} 型不定式,可以使用夹逼准则。

详细步骤

  1. 分析函数特点:

    • xx \to \infty 时,分母 xx \to \infty
    • 分子 sinx\sin x[1,1][-1, 1] 之间振荡
  2. 构造不等式:

    • 由于 1sinx1-1 \leq \sin x \leq 1
    • 所以 1xsinxx1x-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}
  3. 求边界函数的极限:

    • limx(1x)=0\lim_{x \to \infty} (-\frac{1}{x}) = 0
    • limx1x=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0
  4. 应用夹逼准则:

    • 由于 1xsinxx1x-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}
    • limx(1x)=limx1x=0\lim_{x \to \infty} (-\frac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0
    • 所以 limxsinxx=0\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0

答案limxsinxx=0\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0

练习题

练习 1

求极限 limx0x2cos1x\lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x}

参考答案

解题思路: 这是一个直接计算困难的极限,可以使用夹逼准则。

详细步骤

  1. 分析函数特点:

    • x0x \to 0 时,x20x^2 \to 0
    • cos1x\cos \frac{1}{x}[1,1][-1, 1] 之间振荡
  2. 构造不等式:

    • 由于 1cos1x1-1 \leq \cos \frac{1}{x} \leq 1
    • 所以 x2x2cos1xx2-x^2 \leq x^2 \cos \frac{1}{x} \leq x^2
  3. 求边界函数的极限:

    • limx0(x2)=0\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0
    • limx0x2=0\lim_{x \to 0} x^2 = 0
  4. 应用夹逼准则:

    • 由于 x2x2cos1xx2-x^2 \leq x^2 \cos \frac{1}{x} \leq x^2
    • limx0(x2)=limx0x2=0\lim_{x \to 0} (-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0
    • 所以 limx0x2cos1x=0\lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x} = 0

答案limx0x2cos1x=0\lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x} = 0

练习 2

求极限 limx0x2sin1xx\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x}

参考答案

解题思路: 这是一个 00\frac{0}{0} 型不定式,可以使用夹逼准则。

详细步骤

  1. 化简表达式: x2sin1xx=xsin1x\frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x} = x \sin \frac{1}{x}

  2. 分析函数特点:

    • x0x \to 0 时,x0x \to 0
    • sin1x\sin \frac{1}{x}[1,1][-1, 1] 之间振荡
  3. 构造不等式:

    • 由于 1sin1x1-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1
    • 所以 xxsin1xx-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|
  4. 求边界函数的极限:

    • limx0(x)=0\lim_{x \to 0} (-|x|) = 0
    • limx0x=0\lim_{x \to 0} |x| = 0
  5. 应用夹逼准则:

    • 由于 xxsin1xx-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|
    • limx0(x)=limx0x=0\lim_{x \to 0} (-|x|) = \lim_{x \to 0} |x| = 0
    • 所以 limx0xsin1x=0\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0

答案limx0x2sin1xx=0\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x} = 0

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