夹逼准则
夹逼准则是求解极限的重要方法,特别适用于直接计算困难的极限。通过构造两个已知极限的函数来”夹逼”目标函数,从而求出极限值。
基本原理
如果对于所有 (在某个去心邻域内),都有:
并且:
那么:
适用条件
1. 直接计算困难
- 函数形式复杂
- 无法使用常规方法
- 涉及三角函数、指数函数等
2. 可以构造不等式
- 能够找到上界和下界
- 上界和下界的极限相等
3. 常见情况
- 含有 、 的函数
- 含有 的函数
- 含有 的函数
构造技巧
1. 利用三角函数的有界性
2. 利用绝对值
3. 利用基本不等式
典型例题
例题 1
求极限
参考答案
解题思路: 这是一个直接计算困难的极限,可以使用夹逼准则。
详细步骤:
-
分析函数特点:
- 当 时,
- 在 之间振荡
- 无法直接计算
-
构造不等式:
- 由于
- 所以
-
求边界函数的极限:
-
应用夹逼准则:
- 由于
- 且
- 所以
答案:
例题 2
求极限
参考答案
解题思路: 这是一个 型不定式,可以使用夹逼准则。
详细步骤:
-
分析函数特点:
- 当 时,分母
- 分子 在 之间振荡
-
构造不等式:
- 由于
- 所以
-
求边界函数的极限:
-
应用夹逼准则:
- 由于
- 且
- 所以
答案:
练习题
练习 1
求极限
参考答案
解题思路: 这是一个直接计算困难的极限,可以使用夹逼准则。
详细步骤:
-
分析函数特点:
- 当 时,
- 在 之间振荡
-
构造不等式:
- 由于
- 所以
-
求边界函数的极限:
-
应用夹逼准则:
- 由于
- 且
- 所以
答案:
练习 2
求极限
参考答案
解题思路: 这是一个 型不定式,可以使用夹逼准则。
详细步骤:
-
化简表达式:
-
分析函数特点:
- 当 时,
- 在 之间振荡
-
构造不等式:
- 由于
- 所以
-
求边界函数的极限:
-
应用夹逼准则:
- 由于
- 且
- 所以
答案: