复利计算

复利是”利滚利”的计算方式，是理财投资中最重要的概念之一。理解复利的数学原理，就是理解等比数列的应用。

什么是复利？

单利：只对本金计息，利息不再生息 复利：利息加入本金继续计息，即”利滚利”

复利公式推导

设本金为 $P$，年利率为 $r$，按年复利计算：

• 第1年末：$P(1+r)$
• 第2年末：$P(1+r)(1+r) = P(1+r)^2$
• 第3年末：$P(1+r)^3$
• 第 $n$ 年末：$P(1+r)^n$

复利公式

$$A_n = P(1+r)^n$$

其中 $A_n$ 是 $n$ 年后的本利和，$P$ 是本金，$r$ 是年利率。

这是一个等比数列，首项 $a_1 = P(1+r)$，公比 $q = 1+r$。

一年复利多次

如果一年复利 $m$ 次，每次利率为 $\frac{r}{m}$，则 $n$ 年后：

$A_n = P\left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mn}$

当 $m \to \infty$（连续复利）时：

$A_n = P \cdot e^{rn}$

实际应用

例1：银行存款

存入10000元，年利率3%，按年复利计算，10年后本利和是多少？

解：

$A_{10} = 10000 \times (1 + 0.03)^{10} = 10000 \times 1.03^{10} \approx 13439 \text{元}$

例2：投资理财

投资50000元，年化收益率8%，多少年后能翻倍？

解：

设 $n$ 年后翻倍，则：

$50000 \times 1.08^n = 100000$ $1.08^n = 2$ $n = \frac{\ln 2}{\ln 1.08} \approx 9.01 \text{年}$

例3：72法则

72法则：在复利情况下，本金翻倍所需年数 $\approx \frac{72}{\text{年利率(\%)}}$

例如，年利率8%，翻倍年数 $\approx \frac{72}{8} = 9$ 年，与精确计算9.01年很接近！

复利的威力

假设每月投资1000元，年化收益率10%，30年后总额是多少？

这是一个等比数列求和问题：

$S = 1000 \times \frac{1.1^{360} - 1}{1.1^{1/12} - 1} \approx 2,260,000 \text{元}$

投入总额：$1000 \times 360 = 360,000$ 元 最终总额：约226万元 收益：约186万元（是本金的5倍多！）

练习题

练习 1

存入20000元，年利率4%，按年复利计算，5年后本利和是多少？

参考答案

解：

$A_5 = 20000 \times (1.04)^5 = 20000 \times 1.2167 \approx 24334 \text{元}$

答案：约24334元

练习 2

投资100000元，希望10年后达到200000元，需要多少年化收益率？

参考答案

解：

$100000 \times (1+r)^{10} = 200000$ $(1+r)^{10} = 2$ $1+r = 2^{0.1} \approx 1.0718$ $r \approx 0.0718 = 7.18\%$

答案：约7.18%

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总结

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
复利	compound interest	/ˈkɒmpaʊnd ˈɪntrəst/	利滚利
单利	simple interest	/ˈsɪmpəl ˈɪntrəst/	只对本金计息
本金	principal	/ˈprɪnsəpəl/	初始投资金额
本利和	amount	/əˈmaʊnt/	本金加利息

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