等比数列的通项公式

通项公式是等比数列最核心的工具，它让我们能够直接求出数列的任意一项，体现了指数增长的数学本质。

公式推导

对于等比数列 $\{a_n\}$，设首项为 $a_1$，公比为 $q$，我们来推导第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。

根据等比数列的定义：

$$\begin{aligned} a_2 &= a_1 \cdot q \\ a_3 &= a_2 \cdot q = a_1 \cdot q^2 \\ a_4 &= a_3 \cdot q = a_1 \cdot q^3 \\ a_5 &= a_4 \cdot q = a_1 \cdot q^4 \\ &\vdots \end{aligned}$$

观察规律：从 $a_1$ 到 $a_n$ 需要乘 $(n-1)$ 次公比 $q$。

等比数列的通项公式

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

为什么等比数列增长得这么快？

这是因为等比数列是指数增长！

以公比 $q = 2$ 为例：

• 第1项：$a_1$
• 第2项：$2a_1$
• 第3项：$4a_1$
• 第10项：$512a_1$
• 第20项：$524288a_1$（超过50万倍！）

每增加一项，数值就翻倍。这种”倍增”的威力远超等差数列的”累加”。这就是为什么复利投资、病毒传播等现象会呈现惊人的增长速度。

想象一张纸对折20次，厚度会达到多少？答案是超过100米！这就是指数增长的力量。

通项公式的变形

通项公式还可以写成其他形式：

形式一：以任意项为基准

如果已知第 $m$ 项 $a_m$，则：

$a_n = a_m \cdot q^{n-m}$

这个公式在已知某一项（不一定是首项）时特别有用。

形式二：指数函数形式

将通项公式改写：

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = \frac{a_1}{q} \cdot q^n$

令 $c = \frac{a_1}{q}$，则：

$a_n = c \cdot q^n$

这说明等比数列的通项公式本质上是指数函数（当 $q > 0$ 且 $q \neq 1$ 时）。

应用示例

示例1：已知首项和公比，求某一项

已知等比数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1 = 3$，公比 $q = 2$，求第8项 $a_8$。

解：

$a_8 = a_1 \cdot q^{8-1} = 3 \cdot 2^7 = 3 \cdot 128 = 384$

示例2：已知两项，求通项公式

在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_3 = 12$，$a_6 = 96$，求通项公式。

解：

利用通项公式：

$$\begin{cases} a_3 = a_1 \cdot q^2 = 12 \\ a_6 = a_1 \cdot q^5 = 96 \end{cases}$$

两式相除： $\frac{a_6}{a_3} = \frac{a_1 \cdot q^5}{a_1 \cdot q^2} = q^3 = \frac{96}{12} = 8$

所以 $q^3 = 8$，得 $q = 2$。

代入第一式： $a_1 \cdot 2^2 = 12 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 3$

因此，通项公式为： $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

示例3：复利计算

某人存入银行10000元，年利率为5%，按复利计算，$n$ 年后的本利和是多少？

解：

这是一个等比数列问题：

• 首项（本金）：$a_1 = 10000$ 元
• 公比：$q = 1 + 5\% = 1.05$
• 第 $n+1$ 项就是 $n$ 年后的本利和

$a_{n+1} = 10000 \cdot 1.05^n$

例如，10年后的本利和： $a_{11} = 10000 \cdot 1.05^{10} \approx 16289 \text{ 元}$

练习题

练习 1

在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = 2$，$q = 3$，求 $a_6$。

参考答案

解题思路：直接使用通项公式 $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$。

详细步骤：

$a_6 = a_1 \cdot q^{6-1} = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486$

答案：$a_6 = 486$

练习 2

在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_2 = 4$，$a_5 = 32$，求首项 $a_1$ 和公比 $q$。

参考答案

解题思路：建立方程组求解。

详细步骤：

根据通项公式：

$$\begin{cases} a_2 = a_1 \cdot q = 4 \\ a_5 = a_1 \cdot q^4 = 32 \end{cases}$$

两式相除： $\frac{a_5}{a_2} = \frac{a_1 \cdot q^4}{a_1 \cdot q} = q^3 = \frac{32}{4} = 8$

所以 $q = 2$。

代入第一式： $a_1 \cdot 2 = 4 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 2$

答案：$a_1 = 2$，$q = 2$

练习 3

在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = 3$，$q = \frac{1}{2}$，问第几项开始小于 $\frac{1}{100}$？

参考答案

解题思路：设第 $n$ 项小于 $\frac{1}{100}$，建立不等式。

详细步骤：

$a_n = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{1}{100}$

$\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{1}{300}$

$2^{n-1} > 300$

因为 $2^8 = 256 < 300$，$2^9 = 512 > 300$，

所以 $n - 1 \geq 9$，即 $n \geq 10$。

答案：第10项开始小于 $\frac{1}{100}$

练习 4

改编自考研真题

已知等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 + a_2 = 3$，$a_2 + a_3 = 6$，求 $a_1$ 和 $q$。

参考答案

解题思路：利用通项公式建立方程组。

详细步骤：

根据通项公式：

$$\begin{cases} a_1 + a_1 q = 3 \\ a_1 q + a_1 q^2 = 6 \end{cases}$$

化简：

$$\begin{cases} a_1(1 + q) = 3 \\ a_1 q(1 + q) = 6 \end{cases}$$

两式相除： $\frac{a_1 q(1 + q)}{a_1(1 + q)} = \frac{6}{3}$

$q = 2$

代入第一式： $a_1(1 + 2) = 3 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 1$

答案：$a_1 = 1$，$q = 2$

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$a_1$	元素符号	a sub 1	等比数列的首项
$a_n$	元素符号	a sub n	等比数列的第 $n$ 项
$q$	参数	quotient	等比数列的公比
$n$	变量	n	项数，正整数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
通项公式	general term formula	/ˈdʒenərəl tɜːm ˈfɔːmjələ/	表示数列第 $n$ 项的公式
首项	first term	/fɜːst tɜːm/	数列的第一项
指数函数	exponential function	/ˌekspəˈnenʃəl ˈfʌŋkʃən/	形如 $f(x) = a^x$ 的函数
复利	compound interest	/ˈkɒmpaʊnd ˈɪntrəst/	利息再生利息的计算方式

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