等差数列的前n项和

求等差数列的前 $n$ 项和是数列研究中的重要问题。掌握求和公式，能够快速计算大量项的和，避免逐项相加的繁琐。

高斯的故事

在讲公式之前，先分享一个著名的数学故事。

18世纪末，德国数学家高斯（Gauss）还是小学生时，老师让全班同学计算 $1+2+3+\cdots+100$ 的和，想让学生们忙活一阵子。但高斯很快就给出了答案：$5050$。

他的方法是：将这100个数首尾配对：

$$\begin{aligned} &(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + \cdots + (50 + 51) \\ &= 101 + 101 + 101 + \cdots + 101 \quad (\text{共50对}) \\ &= 101 \times 50 = 5050 \end{aligned}$$

这个巧妙的方法启发了等差数列求和公式的推导。

公式推导

方法一：倒序相加法

设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，即：

$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$

将这个式子倒过来写：

$S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \cdots + a_1$

两式相加：

$$\begin{aligned} 2S_n &= (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + (a_3 + a_{n-2}) + \cdots + (a_n + a_1) \end{aligned}$$

由于 $a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = \cdots$（等差数列的性质），共有 $n$ 对，每对的和都是 $a_1 + a_n$，所以：

$2S_n = n(a_1 + a_n)$

等差数列前n项和公式（形式一）

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

方法二：代入通项公式

将 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 代入上面的公式：

$$\begin{aligned} S_n &= \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \\ &= \frac{n[a_1 + a_1 + (n-1)d]}{2} \\ &= \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2} \end{aligned}$$

等差数列前n项和公式（形式二）

$$S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$$

两个求和公式有什么区别？什么时候用哪个？

两个公式本质相同，只是形式不同：

• 形式一 $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$：当已知首项 $a_1$、末项 $a_n$ 和项数 $n$ 时使用，计算更简单。
• 形式二 $S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$：当已知首项 $a_1$、公差 $d$ 和项数 $n$ 时使用。

选择哪个公式取决于题目给出的条件，选对公式能让计算事半功倍！

公式的几何意义

从几何角度看，等差数列的前 $n$ 项和可以看作梯形的面积：

• 上底：$a_1$（首项）
• 下底：$a_n$（末项）
• 高：$n$（项数）

梯形面积公式：$S = \frac{(上底 + 下底) \times 高}{2} = \frac{(a_1 + a_n) \times n}{2}$

这正好对应等差数列求和公式的形式一！

应用示例

示例1：使用形式一求和

求等差数列 $2, 5, 8, 11, \ldots, 98$ 的所有项的和。

解：

首先确定项数。已知 $a_1 = 2$，$d = 3$，$a_n = 98$。

由 $a_n = a_1 + (n-1)d$： $98 = 2 + (n-1) \times 3$ $96 = 3(n-1)$ $n = 33$

使用形式一： $S_{33} = \frac{33 \times (2 + 98)}{2} = \frac{33 \times 100}{2} = 1650$

示例2：使用形式二求和

在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = 5$，$d = 3$，求前20项的和 $S_{20}$。

解：

使用形式二： $S_{20} = 20 \times 5 + \frac{20 \times 19}{2} \times 3 = 100 + 570 = 670$

示例3：已知和求项数

等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = 1$，$d = 2$，若前 $n$ 项和 $S_n = 100$，求 $n$。

解：

使用形式二： $S_n = n \times 1 + \frac{n(n-1)}{2} \times 2 = n + n(n-1) = n^2$

所以： $n^2 = 100$ $n = 10 \quad (\text{负值舍去})$

练习题

练习 1

求等差数列 $1, 3, 5, 7, \ldots$ 的前50项的和。

参考答案

解题思路：先求出第50项，再用形式一求和。

详细步骤：

已知 $a_1 = 1$，$d = 2$。

求第50项： $a_{50} = 1 + (50-1) \times 2 = 1 + 98 = 99$

求和： $S_{50} = \frac{50 \times (1 + 99)}{2} = \frac{50 \times 100}{2} = 2500$

答案：$S_{50} = 2500$

练习 2

在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = -10$，$d = 3$，求前多少项的和最小？

参考答案

解题思路：等差数列的和与项数的关系是二次函数，找最小值。

详细步骤：

使用形式二： $S_n = n \times (-10) + \frac{n(n-1)}{2} \times 3 = -10n + \frac{3n^2 - 3n}{2}$

$S_n = \frac{3n^2 - 23n}{2}$

这是关于 $n$ 的二次函数，开口向上，在顶点处取最小值。

顶点的横坐标： $n = -\frac{-23}{2 \times 3} = \frac{23}{6} \approx 3.83$

因为 $n$ 必须是正整数，所以比较 $S_3$ 和 $S_4$：

$S_3 = \frac{3 \times 9 - 23 \times 3}{2} = \frac{27 - 69}{2} = -21$

$S_4 = \frac{3 \times 16 - 23 \times 4}{2} = \frac{48 - 92}{2} = -22$

答案：前4项的和最小，$S_4 = -22$

练习 3

已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n = n^2 + 2n$，求通项公式 $a_n$。

参考答案

解题思路：利用 $a_n = S_n - S_{n-1}$ ($n \geq 2$)。

详细步骤：

当 $n = 1$ 时： $a_1 = S_1 = 1^2 + 2 \times 1 = 3$

当 $n \geq 2$ 时：

$$\begin{aligned} a_n &= S_n - S_{n-1} \\ &= (n^2 + 2n) - [(n-1)^2 + 2(n-1)] \\ &= n^2 + 2n - (n^2 - 2n + 1 + 2n - 2) \\ &= n^2 + 2n - n^2 + 1 \\ &= 2n + 1 \end{aligned}$$

检验 $n = 1$：$a_1 = 2 \times 1 + 1 = 3$ ✓

答案：$a_n = 2n + 1$

练习 4

改编自考研真题

等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，已知 $S_3 = 9$，$S_6 = 36$，求 $S_9$。

参考答案

解题思路：利用等差数列求和公式的性质。

详细步骤：

方法一：求出 $a_1$ 和 $d$

$$\begin{cases} S_3 = 3a_1 + \frac{3 \times 2}{2}d = 3a_1 + 3d = 9 \\ S_6 = 6a_1 + \frac{6 \times 5}{2}d = 6a_1 + 15d = 36 \end{cases}$$

化简：

$$\begin{cases} a_1 + d = 3 \\ 6a_1 + 15d = 36 \quad \Rightarrow \quad 2a_1 + 5d = 12 \end{cases}$$

解得：$d = 2$，$a_1 = 1$

$S_9 = 9 \times 1 + \frac{9 \times 8}{2} \times 2 = 9 + 72 = 81$

方法二：利用性质

在等差数列中，$S_3$，$S_6 - S_3$，$S_9 - S_6$ 也成等差数列。

已知 $S_3 = 9$，$S_6 - S_3 = 36 - 9 = 27$

公差为 $27 - 9 = 18$

所以 $S_9 - S_6 = 27 + 18 = 45$

$S_9 = S_6 + 45 = 36 + 45 = 81$

答案：$S_9 = 81$

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$S_n$	求和符号	S sub n	等差数列前 $n$ 项的和
$a_1$	元素符号	a sub 1	等差数列的首项
$a_n$	元素符号	a sub n	等差数列的第 $n$ 项
$d$	参数	difference	等差数列的公差
$n$	变量	n	项数，正整数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
前n项和	sum of first n terms	/sʌm əv fɜːst en tɜːmz/	数列前 $n$ 项的总和
倒序相加	reverse order addition	/rɪˈvɜːs ˈɔːdə əˈdɪʃən/	将数列倒过来写再相加的方法
梯形	trapezoid	/ˈtræpəzɔɪd/	一组对边平行的四边形
二次函数	quadratic function	/kwɒˈdrætɪk ˈfʌŋkʃən/	形如 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的函数

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