等差数列的通项公式

通项公式是等差数列最核心的工具，它让我们能够直接求出数列的任意一项，而不需要逐项计算。

公式推导

对于等差数列 $\{a_n\}$，设首项为 $a_1$，公差为 $d$，我们来推导第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。

根据等差数列的定义：

$$\begin{aligned} a_2 &= a_1 + d \\ a_3 &= a_2 + d = a_1 + 2d \\ a_4 &= a_3 + d = a_1 + 3d \\ a_5 &= a_4 + d = a_1 + 4d \\ &\vdots \end{aligned}$$

观察规律：从 $a_1$ 到 $a_n$ 需要加 $(n-1)$ 个公差 $d$。

等差数列的通项公式

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

为什么是 (n-1)d 而不是 nd？

这是一个很好的问题！从 $a_1$ 到 $a_n$ 需要经过 $(n-1)$ 步，而不是 $n$ 步。

想象爬楼梯：从第1层到第n层，需要爬 $(n-1)$ 个台阶。比如从1层到3层，只需要爬2个台阶（1→2，2→3），而不是3个。

同样，从 $a_1$ 到 $a_n$，需要加 $(n-1)$ 次公差：

• $a_1$ 到 $a_2$：加1次
• $a_1$ 到 $a_3$：加2次
• $a_1$ 到 $a_n$：加$(n-1)$次

通项公式的变形

通项公式还可以写成其他形式：

形式一：以任意项为基准

如果已知第 $m$ 项 $a_m$，则：

$a_n = a_m + (n-m)d$

这个公式在已知某一项（不一定是首项）时特别有用。

形式二：线性函数形式

将通项公式展开：

$a_n = a_1 + (n-1)d = dn + (a_1 - d)$

令 $k = d$，$b = a_1 - d$，则：

$a_n = kn + b$

这说明等差数列的通项公式是关于 $n$ 的一次函数（当 $d \neq 0$ 时）。

应用示例

示例1：已知首项和公差，求某一项

已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1 = 3$，公差 $d = 2$，求第10项 $a_{10}$。

解：

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21$

示例2：已知两项，求通项公式

在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_3 = 7$，$a_7 = 15$，求通项公式。

解：

利用通项公式：

$$\begin{cases} a_3 = a_1 + 2d = 7 \\ a_7 = a_1 + 6d = 15 \end{cases}$$

两式相减： $4d = 8 \quad \Rightarrow \quad d = 2$

代入第一式： $a_1 + 2 \times 2 = 7 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 3$

因此，通项公式为： $a_n = 3 + (n-1) \times 2 = 2n + 1$

示例3：判断某数是否为数列中的项

在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = 5$，$d = 3$，问 $101$ 是否为该数列中的项？如果是，是第几项？

解：

设 $101$ 是第 $n$ 项，则： $a_n = 5 + (n-1) \times 3 = 101$ $3n + 2 = 101$ $3n = 99$ $n = 33$

因为 $n = 33$ 是正整数，所以 $101$ 是该数列的第 33 项。

练习题

练习 1

在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = -5$，$d = 3$，求 $a_{20}$。

参考答案

解题思路：直接使用通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$。

详细步骤：

$a_{20} = a_1 + (20-1)d = -5 + 19 \times 3 = -5 + 57 = 52$

答案：$a_{20} = 52$

练习 2

在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_4 = 10$，$a_9 = 25$，求首项 $a_1$ 和公差 $d$。

参考答案

解题思路：建立方程组求解。

详细步骤：

根据通项公式：

$$\begin{cases} a_4 = a_1 + 3d = 10 \\ a_9 = a_1 + 8d = 25 \end{cases}$$

两式相减： $5d = 15 \quad \Rightarrow \quad d = 3$

代入第一式： $a_1 + 3 \times 3 = 10 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 1$

答案：$a_1 = 1$，$d = 3$

练习 3

在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = 2$，$d = 5$，问 $97$ 是否为该数列中的项？

参考答案

解题思路：设 $97$ 是第 $n$ 项，看 $n$ 是否为正整数。

详细步骤：

设 $a_n = 97$，则： $2 + (n-1) \times 5 = 97$ $5n - 3 = 97$ $5n = 100$ $n = 20$

因为 $n = 20$ 是正整数，所以 $97$ 是该数列的第 20 项。

答案：是，$97$ 是第 20 项

练习 4

改编自考研真题

已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_2 + a_4 = 14$，$a_3 + a_6 = 21$，求 $a_1$ 和 $d$。

参考答案

解题思路：利用通项公式建立方程组。

详细步骤：

根据通项公式：

$$\begin{aligned} a_2 + a_4 &= (a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 2a_1 + 4d = 14 \\ a_3 + a_6 &= (a_1 + 2d) + (a_1 + 5d) = 2a_1 + 7d = 21 \end{aligned}$$

化简：

$$\begin{cases} 2a_1 + 4d = 14 \quad \Rightarrow \quad a_1 + 2d = 7 \\ 2a_1 + 7d = 21 \end{cases}$$

两式相减： $3d = 14 \quad \Rightarrow \quad d = \frac{14}{3}$

这里计算有误，让我重新计算：

$$\begin{cases} 2a_1 + 4d = 14 \\ 2a_1 + 7d = 21 \end{cases}$$

两式相减： $3d = 7 \quad \Rightarrow \quad d = \frac{7}{3}$

代入第一式： $2a_1 + 4 \times \frac{7}{3} = 14$ $2a_1 = 14 - \frac{28}{3} = \frac{42-28}{3} = \frac{14}{3}$ $a_1 = \frac{7}{3}$

答案：$a_1 = \frac{7}{3}$，$d = \frac{7}{3}$

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$a_1$	元素符号	a sub 1	等差数列的首项
$a_n$	元素符号	a sub n	等差数列的第 $n$ 项
$d$	参数	difference	等差数列的公差
$n$	变量	n	项数，正整数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
通项公式	general term formula	/ˈdʒenərəl tɜːm ˈfɔːmjələ/	表示数列第 $n$ 项的公式
首项	first term	/fɜːst tɜːm/	数列的第一项
推导	derivation	/ˌderɪˈveɪʃən/	通过逻辑推理得出结论的过程
线性函数	linear function	/ˈlɪniə ˈfʌŋkʃən/	形如 $f(x) = kx + b$ 的函数

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