数列的递推关系

递推关系是定义数列的另一种重要方式。与直接给出通项公式不同，递推关系通过前一项（或前几项）来定义下一项，这种定义方式在实际问题中非常常见。

学习目标

什么是递推关系？

递推关系（recurrence relation）是通过前面的项来定义后面的项的关系式。

例子：

• 斐波那契数列：$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$，$F_1 = F_2 = 1$
• 等差数列：$a_{n+1} = a_n + d$
• 等比数列：$a_{n+1} = qa_n$

递推关系需要配合初始条件（如 $a_1$ 的值）才能唯一确定一个数列。

为什么要学习递推关系？

1. 实际问题的自然描述：很多实际问题天然具有递推性质

   • 人口增长：下一年的人口 = 今年的人口 × 增长率
   • 复利计算：下一期的本金 = 本期的本金 × (1 + 利率)

2. 求通项公式的工具：通过递推关系可以求出通项公式

3. 数学建模的基础：递推关系是动态规划、差分方程等的基础

四种常见类型

本章将学习四种基本的递推关系类型：

1. $a_{n+1} = a_n + d$ 型

特征：每次加一个常数

结果：等差数列

通项：$a_n = a_1 + (n-1)d$

2. $a_{n+1} = qa_n$ 型

特征：每次乘一个常数

结果：等比数列

通项：$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

3. $a_{n+1} = qa_n + d$ 型

特征：既有乘法又有加法

求解方法：特征方程法或不动点法

这是最重要的混合型！

4. $a_{n+1} = a_n + f(n)$ 型

特征：每次加一个关于 $n$ 的函数

求解方法：累加法（叠加法）

通项：$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k)$

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本章分为以下几个部分，建议按顺序学习：

1. $a_{n+1} = a_n + d$ 型 - 等差数列的递推形式
2. $a_{n+1} = qa_n$ 型 - 等比数列的递推形式
3. $a_{n+1} = qa_n + d$ 型 - 混合型，重点掌握
4. $a_{n+1} = a_n + f(n)$ 型 - 累加型，灵活应用

章节

• aₙ₊₁ = aₙ + d 型
• aₙ₊₁ = qaₙ 型
• aₙ₊₁ = qaₙ + d 型
• aₙ₊₁ = aₙ + f(n) 型

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