裂项相消法

裂项相消法是数列求和中最巧妙的方法之一。它的核心思想是将每一项”裂开”成两项的差，使得求和时大部分项都能相互抵消，只剩下首尾几项。

方法原理

裂项相消法

将数列的通项 $a_n$ 拆分成两项之差 $a_n = f(n) - f(n+k)$，使得求和时中间项相互抵消，只剩下有限项。

基本思路：

$$\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n \\ &= [f(1) - f(2)] + [f(2) - f(3)] + [f(3) - f(4)] + \cdots + [f(n) - f(n+1)] \\ &= f(1) - f(n+1) \end{aligned}$$

中间的 $f(2), f(3), \ldots, f(n)$ 都相互抵消了！

常见裂项公式

公式1：连续整数乘积的倒数

基本裂项公式

$$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$

推广：

$\frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k}\right)$

公式2：根式裂项

$\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

推导：分子分母同乘 $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

公式3：平方差

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$

如何判断一个数列能否裂项？

观察通项的特征：

1. 分式形式：分母是两个或多个因式的乘积
2. 因式关系：分母的因式之间有规律（如相差常数）
3. 尝试拆分：看能否写成 $f(n) - f(n+k)$ 的形式

技巧：对于 $\frac{1}{n(n+k)}$，可以设： $\frac{1}{n(n+k)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+k}$

通分后比较系数，求出 $A$ 和 $B$。

应用示例

示例1：基本裂项

求和：$S_n = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}$

解：

使用裂项公式 $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$：

$$\begin{aligned} S_n &= \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \\ &= \frac{1}{1} - \frac{1}{n+1} \\ &= \frac{n}{n+1} \end{aligned}$$

示例2：带系数的裂项

求和：$S_n = \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

解：

使用公式 $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$：

$$\begin{aligned} S_n &= \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)\right] \\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2n+1}\right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1} \\ &= \frac{n}{2n+1} \end{aligned}$$

示例3：根式裂项

求和：$S_n = \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$

解：

分子分母同乘 $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$：

$\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

因此：

$$\begin{aligned} S_n &= (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \\ &= \sqrt{n+1} - 1 \end{aligned}$$

练习题

练习 1

求和：$S_n = \frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \cdots + \frac{1}{2n(2n+2)}$

参考答案

解题思路：先提取公因数，再裂项。

详细步骤：

$\frac{1}{2n(2n+2)} = \frac{1}{2n \cdot 2(n+1)} = \frac{1}{4n(n+1)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$

$$\begin{aligned} S_n &= \frac{1}{4}\left[\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)\right] \\ &= \frac{1}{4}\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \\ &= \frac{n}{4(n+1)} \end{aligned}$$

答案：$S_n = \frac{n}{4(n+1)}$

练习 2

求和：$S_n = \frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{7 \times 10} + \cdots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

参考答案

解题思路：分母相差3，使用公式 $\frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k})$。

详细步骤：

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}\right)$

$$\begin{aligned} S_n &= \frac{1}{3}\left[\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{7}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}\right)\right] \\ &= \frac{1}{3}\left(1 - \frac{1}{3n+1}\right) \\ &= \frac{n}{3n+1} \end{aligned}$$

答案：$S_n = \frac{n}{3n+1}$

练习 3

求和：$S_n = \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2n-1} + \sqrt{2n+1}}$

参考答案

解题思路：分子分母同乘共轭式。

详细步骤：

$\frac{1}{\sqrt{2n-1} + \sqrt{2n+1}} = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2}$

$$\begin{aligned} S_n &= \frac{1}{2}[(\sqrt{3} - \sqrt{1}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1})] \\ &= \frac{1}{2}(\sqrt{2n+1} - 1) \end{aligned}$$

答案：$S_n = \frac{\sqrt{2n+1} - 1}{2}$

练习 4

改编自考研真题

求和：$S_n = \frac{1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

参考答案

解题思路：三个连续整数的乘积，需要两次裂项。

详细步骤：

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$

$$\begin{aligned} S_n &= \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3}\right) + \left(\frac{1}{2 \times 3} - \frac{1}{3 \times 4}\right) + \cdots\right] \\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) \\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) \\ &= \frac{1}{4} - \frac{1}{2(n+1)(n+2)} \\ &= \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} \end{aligned}$$

答案：$S_n = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$S_n$	求和符号	S sub n	数列前 $n$ 项的和
$f(n)$	函数符号	f of n	裂项后的函数形式
$k$	常数	k	裂项间隔

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
裂项相消法	telescoping series	/ˈtelɪskəʊpɪŋ ˈsɪəriːz/	通过拆项使中间项相消的求和方法
通分	common denominator	/ˈkɒmən dɪˈnɒmɪneɪtə/	将分式化为相同分母
共轭	conjugate	/ˈkɒndʒʊɡət/	如 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 与 $\sqrt{a} - \sqrt{b}$

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