极限的定义

极限的定义有直观和严格两种形式。理解两者对于掌握极限概念都很重要。

直观定义

极限的直观定义

如果当 $n$ 无限增大时，数列 $\{a_n\}$ 的项 $a_n$ 无限接近某个常数 $A$，则称数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $A$，$A$ 称为数列的极限。

记作：$\lim_{n \to \infty} a_n = A$ 或 $a_n \to A \quad (n \to \infty)$

严格定义（ε-N定义）

极限的ε-N定义

设 $\{a_n\}$ 为数列，$A$ 为常数。如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$（无论多么小），总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，都有

$|a_n - A| < \varepsilon$

则称数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $A$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = A$。

为什么需要严格定义？

直观定义虽然容易理解，但不够精确：

• “无限接近”是什么意思？
• “无限增大”到什么程度？

严格的ε-N定义解决了这些问题：

• 用 $|a_n - A| < \varepsilon$ 量化”接近”
• 用 $n > N$ 量化”足够大”

这种严格性是数学分析的基础，让我们能够进行严格的证明。

类比：就像法律需要精确的条文，而不能只有”大概的意思”。

收敛与发散

• 收敛（convergent）：数列有极限
• 发散（divergent）：数列没有极限

收敛的例子

例1：$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

证明（用ε-N定义）：

对于任意 $\varepsilon > 0$，要使 $|\frac{1}{n} - 0| < \varepsilon$，即 $\frac{1}{n} < \varepsilon$，只需 $n > \frac{1}{\varepsilon}$。

取 $N = \lceil \frac{1}{\varepsilon} \rceil$（大于 $\frac{1}{\varepsilon}$ 的最小整数），则当 $n > N$ 时，$|\frac{1}{n} - 0| < \varepsilon$。

因此 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$。

例2：$\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n} = 2$

$\frac{2n+1}{n} = 2 + \frac{1}{n} \to 2$

发散的例子

例1：$a_n = n$ 发散（趋于无穷）

例2：$a_n = (-1)^n$ 发散（振荡）

例3：$a_n = \sin n$ 发散（无规律振荡）

练习题

练习 1

用ε-N定义证明：$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$

参考答案

证明：

对于任意 $\varepsilon > 0$，要使 $|\frac{1}{n^2} - 0| < \varepsilon$，即 $\frac{1}{n^2} < \varepsilon$，只需 $n^2 > \frac{1}{\varepsilon}$，即 $n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$。

取 $N = \lceil \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} \rceil$，则当 $n > N$ 时，$|\frac{1}{n^2} - 0| < \varepsilon$。

因此 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$。

练习 2

判断下列数列是否收敛，若收敛，求其极限：

1. $a_n = \frac{3n+2}{n+1}$
2. $a_n = \frac{n^2}{n+1}$
3. $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$

参考答案

解：

1. $a_n = \frac{3n+2}{n+1} = \frac{3 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{1}{n}} \to \frac{3}{1} = 3$，收敛，极限为3

2. $a_n = \frac{n^2}{n+1} = \frac{n}{1 + \frac{1}{n}} \to \infty$，发散

3. $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$，因为 $|a_n| = \frac{1}{n} \to 0$，所以 $a_n \to 0$，收敛，极限为0

练习 3

证明：如果 $\lim_{n \to \infty} a_n = A$，则 $\lim_{n \to \infty} |a_n| = |A|$

参考答案

证明：

由 $\lim_{n \to \infty} a_n = A$，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，使得当 $n > N$ 时，$|a_n - A| < \varepsilon$。

利用不等式 $||a_n| - |A|| \leq |a_n - A|$（绝对值的三角不等式），

当 $n > N$ 时，$||a_n| - |A|| \leq |a_n - A| < \varepsilon$。

因此 $\lim_{n \to \infty} |a_n| = |A|$。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\lim$	运算符号	limit	极限
$\infty$	符号	infinity	无穷大
$\varepsilon$	希腊字母	epsilon	任意小的正数
$N$	变量	N	某个正整数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
极限	limit	/ˈlɪmɪt/	数列的最终趋势
收敛	convergent	/kənˈvɜːdʒənt/	数列有极限
发散	divergent	/daɪˈvɜːdʒənt/	数列没有极限
ε-N定义	epsilon-N definition	-	极限的严格定义

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