aₙ₊₁ = qaₙ 型

这种递推关系对应等比数列，体现了指数增长的特征。

递推关系

等比型递推关系

$$a_{n+1} = qa_n \quad (q \neq 0 \text{ 为常数})$$

含义：每一项都是前一项的 $q$ 倍。

求解方法

从递推关系出发：

$$\begin{aligned} a_2 &= qa_1 \\ a_3 &= qa_2 = q^2 a_1 \\ a_4 &= qa_3 = q^3 a_1 \\ &\vdots \\ a_n &= q^{n-1} a_1 \end{aligned}$$

通项公式

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

这正是等比数列的通项公式！

应用示例

示例1：基本求解

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 2$，$a_{n+1} = 3a_n$，求 $a_n$。

解：

这是 $a_{n+1} = qa_n$ 型，其中 $q = 3$。

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1}$

示例2：细菌繁殖

某种细菌每小时分裂一次，每次分裂成2个。初始有1个细菌，求 $n$ 小时后细菌的数量。

解：

设 $n$ 小时后细菌数量为 $a_n$，则：

• $a_1 = 1$
• $a_{n+1} = 2a_n$

这是等比型递推，$q = 2$：

$a_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$

示例3：复利计算

存入银行10000元，年利率5%，按复利计算，$n$ 年后本利和是多少？

解：

设 $n$ 年后本利和为 $a_n$ 元，则：

• $a_1 = 10000$
• $a_{n+1} = a_n \times (1 + 5\%) = 1.05a_n$

这是等比型递推，$q = 1.05$：

$a_n = 10000 \cdot 1.05^{n-1}$

练习题

练习 1

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 3$，$a_{n+1} = 2a_n$，求 $a_6$。

参考答案

解：

这是等比型递推，$q = 2$。

$a_6 = 3 \cdot 2^{6-1} = 3 \cdot 32 = 96$

答案：$a_6 = 96$

练习 2

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 8$，$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n$，求通项公式。

参考答案

解：

这是等比型递推，$q = \frac{1}{2}$。

$a_n = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 8 \cdot \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{8}{2^{n-1}} = \frac{2^3}{2^{n-1}} = 2^{4-n}$

答案：$a_n = 2^{4-n}$ 或 $a_n = \frac{16}{2^n}$

练习 3

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_3 = 12$，$a_{n+1} = 3a_n$，求 $a_1$ 和通项公式。

参考答案

解：

这是等比型递推，$q = 3$，通项公式为 $a_n = a_1 \cdot 3^{n-1}$。

由 $a_3 = 12$： $a_1 \cdot 3^{3-1} = 12$ $a_1 \cdot 9 = 12$ $a_1 = \frac{4}{3}$

因此通项公式为： $a_n = \frac{4}{3} \cdot 3^{n-1} = \frac{4 \cdot 3^{n-1}}{3} = \frac{4 \cdot 3^{n-1}}{3^1} = 4 \cdot 3^{n-2}$

答案：$a_1 = \frac{4}{3}$，$a_n = \frac{4}{3} \cdot 3^{n-1}$

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总结

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
等比型	geometric type	/ˌdʒiːəˈmetrɪk taɪp/	形如 $a_{n+1} = qa_n$ 的递推
公比	common ratio	/ˈkɒmən ˈreɪʃiəʊ/	等比数列中相邻项的比
指数增长	exponential growth	/ˌekspəˈnenʃəl ɡrəʊθ/	按固定倍数增长

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