数列的基本概念

数列是按照一定顺序排列的一列数，是研究函数与极限之前的核心铺垫。

什么是数列

数列的定义

数列 是一个以正整数为自变量的函数。给定正整数 $n$，函数输出的数记作 $a_n$。

常写作：$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ 或简记为 $\{a_n\}$。

数列的函数视角

$$a:\mathbb{N} \to \mathbb{R}, \quad a(n) = a_n$$

数列既可以看成一段一段列出的数字，也可以看成“时间轴”上的函数值。前者强调顺序，后者便于引入极限、连续与可微的概念。

为什么数列的自变量通常是正整数？

数列本质上是离散的，它描述的是一步一步的过程，比如第一天、第二天，或者第一次、第二次。正整数 $1, 2, 3, \ldots$ 正好对应这种离散的次序感。如果自变量是实数，那就变成了连续函数，研究的方法和性质就会有所不同。

典型示例

• 自然数列：$a_n = n$，反映线性增长。
• 调和数列：$a_n = \frac{1}{n}$，常用于极限与积分估计。
• 交错数列：$a_n = (-1)^n$，展示符号的周期性变化。

数列的表示方法

1. 通项公式法：直接给出 $a_n$ 的表达式。例如：$a_n = 2n + 1$ 表示 $3, 5, 7, 9, \ldots$。该方法便于讨论整体性质。
2. 递推公式法：借助前一项或多项来生成下一项。例如：$a_1 = 1,\, a_{n+1} = 2a_n$ 得 $1, 2, 4, 8, \ldots$。适合刻画动态关系。
3. 列举法：直接写出前若干项，如 $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots$。常用于引导直观认识或展示模式。

通项与递推的联系

若已知递推关系 $a_{n+1} = f(a_n)$ 且 $f$ 可反复应用，则可通过累积运算求得通项；反之，通项公式也能推出递推式。

常见数列类型

等差数列

相邻两项之差为常数 $d$。常用于描述线性增长或等距取样。

等差数列的通项

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

示例：$2, 5, 8, 11, 14, \ldots$（公差 $d = 3$）。若 $d > 0$，数列单调递增；若 $d < 0$，数列单调递减。

等比数列

相邻两项之比为常数 $q$。常见于指数增长、复利模型等情景。

等比数列的通项

$$a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}$$

示例：$3, 6, 12, 24, 48, \ldots$（公比 $q = 2$）。当 $|q| < 1$ 时，数列趋于 $0$，是研究极限的典型素材。

数列的性质

有界性

数列的有界性

如果存在正数 $M$，使得对所有 $n$ 都有 $|a_n| \leq M$，则称数列 $\{a_n\}$ 是有界的。

例子：$\left\{\frac{1}{n}\right\}$ 有界（$0 < \frac{1}{n} \leq 1$），而 $\{n\}$ 是无界的。

单调性

• 单调递增：$a_{n+1} \geq a_n$ 对所有 $n$ 成立
• 单调递减：$a_{n+1} \leq a_n$ 对所有 $n$ 成立

若数列既单调又有界，则可推断其收敛，这为后续极限章节奠定基础。

周期性与奇偶性

• 周期数列：存在正整数 $T$，使得 $a_{n+T} = a_n$。例如 $a_n = (-1)^n$ 的周期为 $2$。
• 奇偶性：若 $a_{-n} = \pm a_n$ 能延拓为函数，可与函数奇偶性概念对应。

这些性质有助于分类讨论，与极限、求和、递推等主题紧密关联。

练习题

练习 1

判断以下数列的类型并说明理由：

1. $a_n = 4 - 3n$
2. $b_n = 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

参考答案

解题思路：检查相邻项的差或比。

详细步骤：

1. $a_{n+1} - a_n = (4 - 3(n+1)) - (4 - 3n) = -3$，差为常数，故为等差数列，公差 $d = -3$。
2. $\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{5(-\frac{1}{2})^{n}}{5(-\frac{1}{2})^{n-1}} = -\frac{1}{2}$，比为常数，故为等比数列，公比 $q = -\frac{1}{2}$。

答案：$a_n$ 等差（$d = -3$）；$b_n$ 等比（$q = -\frac{1}{2}$）。

练习 2

数列 $\{c_n\}$ 满足 $c_1 = 2$，$c_{n+1} = c_n + 2^{n}$。求其通项公式。

参考答案

解题思路：尝试累加递推式，识别等比和。

详细步骤：

$$\begin{aligned} c_{n+1} &= c_1 + \sum_{k=1}^{n} 2^{k} = 2 + (2^{n+1} - 2) = 2^{n+1}, \\ \therefore\quad c_n &= 2^{n}. \end{aligned}$$

答案：$c_n = 2^{n}$。

练习 3

改编自2023考研数学一第 3 题

设数列 $\{d_n\}$ 的通项满足 $d_n = 3 + (-1)^n$. 判断其是否有界、是否单调，并说明原因。

参考答案

解题思路：分别分析上界与下界；比较 $d_{n+1}-d_n$。

详细步骤：

• 取任意 $n$，$d_n$ 在 $2$ 与 $4$ 之间振荡，因此 $|d_n| \leq 4$，数列有界。
• $d_{n+1} - d_n = (-1)^{n+1} - (-1)^n = -2(-1)^n$，正负号交替，因此既不满足恒 $≥0$，也不满足恒 $≤0$，故非单调。

答案：$\{d_n\}$ 有界但不单调。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\mathbb{N}$	数学符号	natural numbers（自然数）	数列自变量的取值集合
$\mathbb{R}$	数学符号	Real numbers（实数）	实数集
$\{a_n\}$	数列记号	sequence notation	表示一个数列
$a_n$	元素符号	a sub n	数列的第 $n$ 项
$d$	参数	difference	等差数列的公差
$q$	参数	quotient	等比数列的公比

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
数列	sequence	/ˈsiːkwəns/	以正整数为索引的函数
通项公式	general term	/ˈdʒenərəl tɜːrm/	直接给出第 $n$ 项的表达式
递推公式	recurrence relation	/rɪˈkɜːrəns rɪˈleɪʃən/	通过前项生成后项的关系式
等差数列	arithmetic sequence	/ˌærɪθˈmetɪk ˈsiːkwəns/	相邻项差为常数的数列
等比数列	geometric sequence	/ˌdʒiːəˈmetrɪk ˈsiːkwəns/	相邻项比为常数的数列
有界	bounded	/ˈbaʊndɪd/	数列绝对值被同一常数约束
单调	monotonic	/ˌmɒnəˈtɒnɪk/	项随索引一致递增或递减

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