数列的极限

数列的极限是微积分的基础概念之一。它描述了当项数趋于无穷大时，数列的变化趋势。这个概念是从离散到连续、从有限到无限的重要桥梁。

学习目标

什么是极限？

考虑数列：$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots, \frac{1}{n}, \ldots$

随着 $n$ 越来越大，$\frac{1}{n}$ 越来越接近 0。我们说：数列 $\{\frac{1}{n}\}$ 的极限是 0。

记作：$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

为什么要学习极限？

1. 微积分的基础：导数、积分都建立在极限概念之上
2. 描述无限过程：极限让我们能够严格地讨论无限
3. 实际应用：
   • 复利的连续化：$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{r}{n})^n = e^r$
   • 无穷级数的收敛性
   • 数值计算的精度分析

极限的直观例子

例子1：趋于零

$a_n = \frac{1}{n^2}: \quad 1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \ldots \to 0$

例子2：趋于常数

$a_n = \frac{2n+1}{n}: \quad 3, \frac{5}{2}, \frac{7}{3}, \frac{9}{4}, \ldots \to 2$

例子3：不存在极限

$a_n = (-1)^n: \quad -1, 1, -1, 1, \ldots \quad \text{（振荡，无极限）}$

$a_n = n: \quad 1, 2, 3, 4, \ldots \quad \text{（趋于无穷，无极限）}$

收敛与发散

• 收敛（convergent）：数列有极限
• 发散（divergent）：数列没有极限

本章内容导航

本章分为以下几个部分，建议按顺序学习：

1. 极限的定义 - 直观定义和严格的 ε-N 定义
2. 极限的性质 - 唯一性、有界性、夹逼定理
3. 极限的运算 - 和、差、积、商的极限法则
4. 收敛判别法 - 如何判断数列是否收敛及求极限

章节

• 极限的定义
• 极限的性质
• 极限的运算
• 收敛判别法

上一章节 数列的递推关系 下一章节 数列的应用