等差数列的性质

等差数列除了基本的定义和公式外，还有许多重要的性质。掌握这些性质，能够更灵活地解决问题，甚至发现一些巧妙的解法。

中项性质

等差中项

等差中项

如果三个数 $a$，$b$，$c$ 成等差数列，则 $b$ 叫做 $a$ 与 $c$ 的等差中项（arithmetic mean）。

等差中项公式

$$b = \frac{a + c}{2}$$

换句话说，等差中项就是两个数的算术平均数。

示例：$2$，$5$，$8$ 成等差数列，$5$ 是 $2$ 和 $8$ 的等差中项，因为 $5 = \frac{2 + 8}{2}$。

一般中项性质

在等差数列 $\{a_n\}$ 中，对于任意正整数 $n$（$n \geq 2$），都有：

中项性质

$$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$$

这说明等差数列中，任意一项都是其前后两项的等差中项。

为什么等差数列的每一项都是前后两项的平均数？

这源于等差数列的定义。设公差为 $d$，则：

• $a_{n-1} = a_n - d$
• $a_{n+1} = a_n + d$

所以： $\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} = \frac{(a_n - d) + (a_n + d)}{2} = \frac{2a_n}{2} = a_n$

从几何角度看，等差数列在数轴上均匀分布，每一项恰好位于相邻两项的中点。

对称性质

在等差数列 $\{a_n\}$ 中，若 $m + n = p + q$（$m, n, p, q$ 为正整数），则：

对称性质

$$a_m + a_n = a_p + a_q$$

特别地，当 $m + n = 2p$ 时，有 $a_m + a_n = 2a_p$。

示例：在等差数列中，$a_2 + a_8 = a_3 + a_7 = a_4 + a_6 = 2a_5$（因为 $2+8=3+7=4+6=2 \times 5=10$）

证明：

$$\begin{aligned} a_m + a_n &= [a_1 + (m-1)d] + [a_1 + (n-1)d] \\ &= 2a_1 + (m+n-2)d \\ \\ a_p + a_q &= [a_1 + (p-1)d] + [a_1 + (q-1)d] \\ &= 2a_1 + (p+q-2)d \end{aligned}$$

因为 $m + n = p + q$，所以 $a_m + a_n = a_p + a_q$。

子数列性质

等间隔抽取

从等差数列中等间隔抽取若干项，组成的新数列仍是等差数列。

示例：数列 $\{a_n\}$：$1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, \ldots$（公差为2）

抽取奇数项：$a_1, a_3, a_5, \ldots$ 即 $1, 5, 9, \ldots$（公差为4）

抽取偶数项：$a_2, a_4, a_6, \ldots$ 即 $3, 7, 11, \ldots$（公差为4）

连续k项和

将等差数列每连续 $k$ 项的和作为一项，组成的新数列仍是等差数列。

设 $S_k$，$S_{2k} - S_k$，$S_{3k} - S_{2k}$，$\ldots$ 为新数列，则这个新数列是公差为 $k^2d$ 的等差数列。

与前n项和的关系

通项与前n项和的关系

对于等差数列 $\{a_n\}$，其前 $n$ 项和 $S_n$ 与通项 $a_n$ 有如下关系：

$$a_n = \begin{cases} S_1, & n = 1 \\ S_n - S_{n-1}, & n \geq 2 \end{cases}$$

前n项和的二次函数性质

等差数列的前 $n$ 项和 $S_n$ 是关于 $n$ 的二次函数（当 $d \neq 0$ 时）：

$S_n = \frac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \frac{d}{2}\right)n$

这是一个没有常数项的二次函数。

性质：

• 当 $d > 0$ 时，$S_n$ 有最小值
• 当 $d < 0$ 时，$S_n$ 有最大值
• 当 $d = 0$ 时，$S_n = na_1$（一次函数）

应用示例

示例1：利用对称性质

在等差数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_3 + a_7 = 20$，求 $a_5$。

解：

因为 $3 + 7 = 2 \times 5$，由对称性质：

$a_3 + a_7 = 2a_5$

所以： $2a_5 = 20 \quad \Rightarrow \quad a_5 = 10$

示例2：利用子数列性质

等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d = 2$，从中抽取第1项、第3项、第5项……组成新数列 $\{b_n\}$，求 $\{b_n\}$ 的公差。

解：

$b_1 = a_1$，$b_2 = a_3$，$b_3 = a_5$，$\ldots$

$b_2 - b_1 = a_3 - a_1 = 2d = 2 \times 2 = 4$

所以新数列的公差为 $4$。

示例3：利用前n项和性质

等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n = 2n^2 + 3n$，求 $a_1$ 和 $d$。

解：

当 $n = 1$ 时： $a_1 = S_1 = 2 \times 1^2 + 3 \times 1 = 5$

当 $n \geq 2$ 时： $a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 + 3n) - [2(n-1)^2 + 3(n-1)]$ $= 2n^2 + 3n - 2n^2 + 4n - 2 - 3n + 3 = 4n + 1$

验证 $n = 1$：$a_1 = 4 \times 1 + 1 = 5$ ✓

所以 $a_n = 4n + 1$，即 $a_1 = 5$，$d = 4$。

练习题

练习 1

在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_4 + a_6 = 18$，求 $a_5$。

参考答案

解题思路：利用对称性质。

详细步骤：

因为 $4 + 6 = 2 \times 5$，所以：

$a_4 + a_6 = 2a_5$

$18 = 2a_5$

$a_5 = 9$

答案：$a_5 = 9$

练习 2

在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} = 80$，求 $a_6$。

参考答案

解题思路：利用对称性质和中项性质。

详细步骤：

因为 $2+10=4+8=2 \times 6$，所以：

$a_2 + a_{10} = 2a_6$ $a_4 + a_8 = 2a_6$

因此： $a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} = 2a_6 + 2a_6 + a_6 = 5a_6 = 80$

$a_6 = 16$

答案：$a_6 = 16$

练习 3

已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n = n^2 - n$，求 $a_n$。

参考答案

解题思路：利用 $a_n = S_n - S_{n-1}$ ($n \geq 2$)。

详细步骤：

当 $n = 1$ 时： $a_1 = S_1 = 1^2 - 1 = 0$

当 $n \geq 2$ 时：

$$\begin{aligned} a_n &= S_n - S_{n-1} \\ &= (n^2 - n) - [(n-1)^2 - (n-1)] \\ &= n^2 - n - (n^2 - 2n + 1 - n + 1) \\ &= n^2 - n - n^2 + 3n - 2 \\ &= 2n - 2 \end{aligned}$$

验证 $n = 1$：$a_1 = 2 \times 1 - 2 = 0$ ✓

答案：$a_n = 2n - 2$

练习 4

改编自考研真题

在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 > 0$，$S_9 = S_{12}$，问前多少项和最大？

参考答案

解题思路：$S_9 = S_{12}$ 说明第10项到第12项的和为0。

详细步骤：

$S_{12} - S_9 = a_{10} + a_{11} + a_{12} = 0$

因为是等差数列，所以： $3a_{11} = 0 \quad \Rightarrow \quad a_{11} = 0$

又因为 $a_1 > 0$，所以数列递减（$d < 0$）。

因此：

• $a_{10} > 0$
• $a_{11} = 0$
• $a_{12} < 0$

前10项和最大。

答案：前10项和最大

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$a_n$	元素符号	a sub n	等差数列的第 $n$ 项
$d$	参数	difference	等差数列的公差
$S_n$	求和符号	S sub n	等差数列前 $n$ 项的和
$m, n, p, q$	变量	-	正整数，表示项数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
等差中项	arithmetic mean	/ˌærɪθˈmetɪk miːn/	两个数的算术平均数
对称性	symmetry	/ˈsɪmətri/	数列项之间的对称关系
子数列	subsequence	/ˈsʌbsiːkwəns/	从原数列中按规则抽取的数列
二次函数	quadratic function	/kwɒˈdrætɪk ˈfʌŋkʃən/	形如 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的函数
最值	extreme value	/ɪkˈstriːm ˈvæljuː/	最大值或最小值

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