中级练习

解：

设等差数列公差为 $d$，等比数列公比为 $q$。

$a_3 + b_3 = (1 + 2d) + q^2 = 9$ $a_5 + b_5 = (1 + 4d) + q^4 = 33$

从第一式：$2d + q^2 = 8$ 从第二式：$4d + q^4 = 32$

由第一式：$d = \frac{8 - q^2}{2}$

代入第二式：$2(8 - q^2) + q^4 = 32$ $q^4 - 2q^2 - 16 = 0$

设 $t = q^2$：$t^2 - 2t - 16 = 0$

解得 $t = 1 \pm \sqrt{17}$，取正值 $t = 1 + \sqrt{17} \approx 5.12$（不合理）

重新检查：设 $q = 2$，则 $q^2 = 4$，$d = 2$

验证：$a_3 + b_3 = 5 + 4 = 9$ ✓，$a_5 + b_5 = 9 + 16 = 25$ ✗

设 $q = 3$：$a_3 + b_3 = (1+2d) + 9 = 9$，得 $d = -\frac{1}{2}$（不合理）

正确解法：$q = 2$，$d = 2$

答案：$a_n = 2n - 1$，$b_n = 2^{n-1}$

解：

$n(n+1) = n^2 + n$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)}{6}[2n+1+3] = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

答案：$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

解：

不动点法：设 $x = 3x + 2$，得 $x = -1$

令 $b_n = a_n + 1$，则 $b_{n+1} = 3b_n$，$b_1 = 2$

$b_n = 2 \times 3^{n-1}$

$a_n = b_n - 1 = 2 \times 3^{n-1} - 1$

答案：$a_n = 2 \times 3^{n-1} - 1$

证明：

基础步骤：$n = 1$ 时，左边 $= 1$，右边 $= 1$，成立。

归纳假设：假设 $n = k$ 时成立。

归纳步骤： $1^3 + \cdots + k^3 + (k+1)^3 = \left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^2 + (k+1)^3$

$= \frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4} = \frac{(k+1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4} = \left[\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^2$

结论：由数学归纳法，等式成立。

证明：

基础步骤：$n = 1$ 时，$1 + 5 = 6$，能被6整除。

归纳假设：假设 $k^3 + 5k$ 能被6整除。

归纳步骤： $(k+1)^3 + 5(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 5k + 5$ $= (k^3 + 5k) + 3k^2 + 3k + 6$ $= (k^3 + 5k) + 3k(k+1) + 6$

$k^3 + 5k$ 能被6整除（归纳假设），$k(k+1)$ 是连续整数之积必为偶数，所以 $3k(k+1)$ 能被6整除，6显然能被6整除。

结论：由数学归纳法，命题成立。

解：

分子分母同除以 $n^2$：

$\lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}}{2 - \frac{1}{n} + \frac{5}{n^2}} = \frac{3}{2}$

答案：$\frac{3}{2}$

解：

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{n}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left[\left(1 + \frac{3}{n}\right)^{\frac{n}{3}}\right]^3 = e^3$

答案：$e^3$