aₙ₊₁ = aₙ + d 型

这是最简单的递推关系类型，它直接对应等差数列。

递推关系

等差型递推关系

$$a_{n+1} = a_n + d \quad (d \text{ 为常数})$$

含义：每一项都比前一项多一个固定的常数 $d$。

求解方法

从递推关系出发：

$$\begin{aligned} a_2 &= a_1 + d \\ a_3 &= a_2 + d = a_1 + 2d \\ a_4 &= a_3 + d = a_1 + 3d \\ &\vdots \\ a_n &= a_1 + (n-1)d \end{aligned}$$

通项公式

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

这正是等差数列的通项公式！

应用示例

示例1：基本求解

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 3$，$a_{n+1} = a_n + 5$，求 $a_n$。

解：

这是 $a_{n+1} = a_n + d$ 型，其中 $d = 5$。

$a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1) \times 5 = 5n - 2$

示例2：实际应用

某公司第一年利润100万元，以后每年比上一年增加20万元。求第 $n$ 年的利润。

解：

设第 $n$ 年的利润为 $a_n$ 万元，则：

• $a_1 = 100$
• $a_{n+1} = a_n + 20$

这是等差型递推，$d = 20$：

$a_n = 100 + (n-1) \times 20 = 20n + 80 \text{ (万元)}$

练习题

练习 1

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = -2$，$a_{n+1} = a_n + 3$，求 $a_{10}$。

参考答案

解：

这是等差型递推，$d = 3$。

$a_{10} = a_1 + (10-1) \times 3 = -2 + 27 = 25$

答案：$a_{10} = 25$

练习 2

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 5$，$a_{n+1} - a_n = -2$，求通项公式。

参考答案

解：

$a_{n+1} - a_n = -2$ 即 $a_{n+1} = a_n - 2$，这是等差型递推，$d = -2$。

$a_n = 5 + (n-1) \times (-2) = 5 - 2n + 2 = 7 - 2n$

答案：$a_n = 7 - 2n$

练习 3

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_3 = 10$，$a_{n+1} = a_n + 4$，求 $a_1$ 和通项公式。

参考答案

解：

这是等差型递推，$d = 4$，通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1) \times 4$。

由 $a_3 = 10$： $a_1 + 2 \times 4 = 10$ $a_1 = 2$

因此通项公式为： $a_n = 2 + 4(n-1) = 4n - 2$

答案：$a_1 = 2$，$a_n = 4n - 2$

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总结

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
递推关系	recurrence relation	/rɪˈkɜːrəns rɪˈleɪʃən/	通过前项定义后项的关系
等差型	arithmetic type	/ˌærɪθˈmetɪk taɪp/	形如 $a_{n+1} = a_n + d$ 的递推
公差	common difference	/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/	等差数列中相邻项的差

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