等比数列的前n项和

求等比数列的前 $n$ 项和是数列研究中的重要问题。与等差数列不同，等比数列的求和公式需要分情况讨论。

棋盘上的米粒

让我们回到开篇提到的故事：在国际象棋的64格棋盘上，第一格放1粒米，第二格放2粒，第三格放4粒……每格都是前一格的2倍。

这形成了一个等比数列：$1, 2, 4, 8, 16, \ldots, 2^{63}$

总共需要多少粒米？即求：

$S_{64} = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{63}$

如何计算这个和？让我们来推导等比数列的求和公式。

公式推导

设等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，首项为 $a_1$，公比为 $q$。

情况一：$q = 1$

当 $q = 1$ 时，数列为常数列：$a_1, a_1, a_1, \ldots$

此时：

等比数列前n项和（q=1时）

$$S_n = na_1$$

情况二：$q \neq 1$

当 $q \neq 1$ 时，使用”乘公比再相减”的方法：

$S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n-1}$

两边同时乘以 $q$：

$qS_n = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + \cdots + a_1 q^n$

两式相减（下式减上式）：

$$\begin{aligned} qS_n - S_n &= a_1 q^n - a_1 \\ S_n(q - 1) &= a_1(q^n - 1) \\ S_n &= \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} \end{aligned}$$

也可以写成：

$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$

等比数列前n项和（q≠1时）

$$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$$

两种形式的求和公式有什么区别？

两个公式本质相同，只是形式不同：

• 形式一 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$：当 $0 < q < 1$ 时使用，分母为正，便于理解
• 形式二 $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$：当 $q > 1$ 时使用，分母为正，便于计算

选择哪个公式取决于 $q$ 的大小，选对公式能避免负号，让计算更清晰！

记忆技巧：分子分母的符号要一致——都是”大减小”或都是”小减大”。

棋盘问题的答案

现在我们可以计算棋盘上的米粒总数了：

$$\begin{aligned} S_{64} &= \frac{1 \times (2^{64} - 1)}{2 - 1} \\ &= 2^{64} - 1 \\ &\approx 1.84 \times 10^{19} \end{aligned}$$

这个数字大约是18,446,744,073,709,551,615粒！

如果每粒米重0.02克，总重量约为：$3.69 \times 10^{14}$ 千克，相当于3690亿吨——远超全球年粮食产量！

应用示例

示例1：使用求和公式

求等比数列 $2, 6, 18, 54, \ldots$ 的前6项的和。

解：

已知 $a_1 = 2$，$q = 3$，$n = 6$。

使用公式（$q > 1$ 用第二种形式）：

$S_6 = \frac{2 \times (3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{2 \times (729 - 1)}{2} = \frac{2 \times 728}{2} = 728$

示例2：已知和求项数

等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = 1$，$q = 2$，若前 $n$ 项和 $S_n = 127$，求 $n$。

解：

$S_n = \frac{1 \times (2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1 = 127$

$2^n = 128 = 2^7$

$n = 7$

示例3：无穷递缩等比数列的和

当 $|q| < 1$ 时，随着 $n$ 增大，$q^n$ 趋于0，此时前 $n$ 项和趋于一个极限值：

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1}{1 - q}$

例：求 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots$ 的和。

这是首项 $a_1 = \frac{1}{2}$，公比 $q = \frac{1}{2}$ 的无穷等比数列。

$S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$

练习题

练习 1

求等比数列 $1, 3, 9, 27, \ldots$ 的前8项的和。

参考答案

解题思路：确定首项、公比，使用求和公式。

详细步骤：

已知 $a_1 = 1$，$q = 3$，$n = 8$。

$S_8 = \frac{1 \times (3^8 - 1)}{3 - 1} = \frac{6561 - 1}{2} = \frac{6560}{2} = 3280$

答案：$S_8 = 3280$

练习 2

在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = 64$，$q = \frac{1}{2}$，求前6项的和。

参考答案

解题思路：$0 < q < 1$，使用第一种形式的公式。

详细步骤：

$S_6 = \frac{64 \times (1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{64 \times (1 - \frac{1}{64})}{\frac{1}{2}} = \frac{64 \times \frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = \frac{63}{\frac{1}{2}} = 126$

答案：$S_6 = 126$

练习 3

求无穷等比数列 $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \cdots$ 的和。

参考答案

解题思路：这是无穷递缩等比数列，$|q| < 1$。

详细步骤：

首项 $a_1 = 1$，公比 $q = \frac{1}{3}$。

$S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

答案：$S = \frac{3}{2}$

练习 4

改编自考研真题

等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，已知 $S_3 = 7$，$S_6 = 63$，求公比 $q$。

参考答案

解题思路：利用等比数列求和公式建立方程。

详细步骤：

设公比为 $q$（$q \neq 1$），则：

$$\begin{cases} S_3 = \frac{a_1(q^3 - 1)}{q - 1} = 7 \\ S_6 = \frac{a_1(q^6 - 1)}{q - 1} = 63 \end{cases}$$

两式相除：

$\frac{S_6}{S_3} = \frac{q^6 - 1}{q^3 - 1} = \frac{63}{7} = 9$

因为 $q^6 - 1 = (q^3 - 1)(q^3 + 1)$，所以：

$\frac{(q^3 - 1)(q^3 + 1)}{q^3 - 1} = q^3 + 1 = 9$

$q^3 = 8$

$q = 2$

答案：$q = 2$

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$S_n$	求和符号	S sub n	等比数列前 $n$ 项的和
$a_1$	元素符号	a sub 1	等比数列的首项
$q$	参数	quotient	等比数列的公比
$n$	变量	n	项数，正整数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
前n项和	sum of first n terms	/sʌm əv fɜːst en tɜːmz/	数列前 $n$ 项的总和
无穷递缩等比数列	infinite decreasing geometric series	/ˈɪnfɪnət dɪˈkriːsɪŋ ˌdʒiːəˈmetrɪk ˈsɪəriːz/	$
极限	limit	/ˈlɪmɪt/	数列趋于的值

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