贷款还款

贷款还款是数列应用的典型例子。理解还款计划的数学原理，有助于做出明智的财务决策。

两种还款方式

1. 等额本息

每月还款额固定，包含本金和利息。

特点：

• 每月还款额相同
• 前期利息多，后期本金多
• 总利息较高

2. 等额本金

每月还款本金固定，利息递减。

特点：

• 每月还款额递减
• 前期还款压力大
• 总利息较低

等额本息的数学模型

设贷款总额 $P$，月利率 $r$，还款期数 $n$，每月还款额 $A$。

第 $k$ 个月后剩余本金 $P_k$ 满足递推关系：

$P_{k+1} = P_k(1+r) - A$

这是 $a_{n+1} = qa_n + d$ 型递推关系！

解得：

等额本息月供公式

$$A = \frac{P \cdot r \cdot (1+r)^n}{(1+r)^n - 1}$$

等额本金的数学模型

每月还本金 $\frac{P}{n}$，第 $k$ 个月利息为剩余本金的利息。

第 $k$ 个月还款额：

$A_k = \frac{P}{n} + \left[P - (k-1) \cdot \frac{P}{n}\right] \cdot r = \frac{P}{n}[1 + (n-k+1)r]$

这是一个等差数列！

实际应用

例1：房贷计算

贷款100万元，年利率4.9%，贷款30年，比较两种还款方式。

等额本息：

月利率 $r = \frac{4.9\%}{12} \approx 0.00408$，期数 $n = 360$

$A = \frac{1000000 \times 0.00408 \times 1.00408^{360}}{1.00408^{360} - 1} \approx 5307 \text{元/月}$

总还款：$5307 \times 360 \approx 1,910,520$ 元 总利息：约91万元

等额本金：

首月还款：$\frac{1000000}{360} + 1000000 \times 0.00408 \approx 6861$ 元 末月还款：$\frac{1000000}{360} + \frac{1000000}{360} \times 0.00408 \approx 2789$ 元

总还款：约1,886,000元 总利息：约89万元

提前还款

如果第 $m$ 个月一次性还清，需要还多少？

等额本息：剩余本金为

$P_m = P \cdot \frac{(1+r)^n - (1+r)^m}{(1+r)^n - 1}$

等额本金：剩余本金为

$P_m = P - m \cdot \frac{P}{n} = P\left(1 - \frac{m}{n}\right)$

练习题

练习 1

贷款50万元，年利率5.4%，贷款20年，等额本息方式，每月还款额是多少？

参考答案

解：

月利率 $r = \frac{5.4\%}{12} = 0.0045$，期数 $n = 240$

$A = \frac{500000 \times 0.0045 \times 1.0045^{240}}{1.0045^{240} - 1} \approx 3427 \text{元}$

答案：约3427元/月

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总结

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
等额本息	equal principal and interest	-	每月还款额固定
等额本金	equal principal	-	每月还本金固定
月供	monthly payment	/ˈmʌnθli ˈpeɪmənt/	每月还款额

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