分组求和法

分组求和法是处理复合数列最直接的方法。当数列的通项可以分解成几个简单数列的和时，我们可以分别对每组求和，再将结果相加。

方法原理

分组求和法

将数列的通项 $a_n$ 分解成几个简单数列的和 $a_n = b_n + c_n + \cdots$，分别求和后再相加： $S_n = \sum a_n = \sum b_n + \sum c_n + \cdots$

核心思想：化整为零，各个击破。

适用场景

分组求和法适用于以下情况：

1. 等差+等比：$a_n = (an + b) + cq^n$
2. 多项式+指数：$a_n = n^2 + 2^n$
3. 分段定义：奇数项和偶数项规律不同

应用示例

示例1：等差+等比

求和：$S_n = (1 + 2) + (2 + 4) + (3 + 8) + \cdots + (n + 2^n)$

解：

将数列分成两组：

$S_n = (1 + 2 + 3 + \cdots + n) + (2 + 4 + 8 + \cdots + 2^n)$

第一组是等差数列，第二组是等比数列：

$$\begin{aligned} S_n &= \frac{n(n+1)}{2} + \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} \\ &= \frac{n(n+1)}{2} + 2^{n+1} - 2 \end{aligned}$$

示例2：多项式+指数

求和：$S_n = (1 + 3^1) + (4 + 3^2) + (9 + 3^3) + \cdots + (n^2 + 3^n)$

解：

分组：

$S_n = (1 + 4 + 9 + \cdots + n^2) + (3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^n)$

第一组是平方和，第二组是等比数列：

$$\begin{aligned} S_n &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} \\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{3^{n+1} - 3}{2} \end{aligned}$$

示例3：奇偶项分组

数列 $\{a_n\}$ 满足：奇数项为等差数列 $1, 3, 5, \ldots$，偶数项为等比数列 $2, 4, 8, \ldots$。求前 $2n$ 项的和。

解：

$$\begin{aligned} S_{2n} &= (a_1 + a_3 + \cdots + a_{2n-1}) + (a_2 + a_4 + \cdots + a_{2n}) \\ &= [1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1)] + [2 + 4 + 8 + \cdots + 2^n] \\ &= n^2 + \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} \\ &= n^2 + 2^{n+1} - 2 \end{aligned}$$

分组求和法的关键是什么？

关键在于正确识别和分组：

1. 观察通项结构：看通项是否可以拆分成几个独立的部分
2. 识别每组类型：判断每组是等差、等比还是其他已知类型
3. 分别求和：对每组使用相应的求和公式
4. 合并结果：将各组的和相加

常见错误：

• 分组不彻底，留下复杂项
• 分组后忘记某一组
• 混淆不同组的求和公式

练习题

练习 1

求和：$S_n = (1 + 1) + (2 + 3) + (3 + 9) + \cdots + (n + 3^n)$

参考答案

解题思路：分成等差数列和等比数列两组。

详细步骤：

$S_n = (1 + 2 + 3 + \cdots + n) + (1 + 3 + 9 + \cdots + 3^n)$

$$\begin{aligned} S_n &= \frac{n(n+1)}{2} + \frac{1 \times (3^n - 1)}{3 - 1} \\ &= \frac{n(n+1)}{2} + \frac{3^n - 1}{2} \\ &= \frac{n(n+1) + 3^n - 1}{2} \end{aligned}$$

答案：$S_n = \frac{n(n+1) + 3^n - 1}{2}$

练习 2

求和：$S_n = 2 + 2^2 + 2 + 2^3 + 2 + 2^4 + \cdots$（共 $2n$ 项）

参考答案

解题思路：奇数项都是2，偶数项是等比数列。

详细步骤：

奇数项：$2, 2, 2, \ldots$（共 $n$ 个2）

偶数项：$2^2, 2^3, 2^4, \ldots, 2^{n+1}$（等比数列）

$$\begin{aligned} S_{2n} &= 2n + \frac{2^2(2^n - 1)}{2 - 1} \\ &= 2n + 4(2^n - 1) \\ &= 2n + 2^{n+2} - 4 \end{aligned}$$

答案：$S_{2n} = 2n + 2^{n+2} - 4$

练习 3

求和：$S_n = (2 \times 1 + 1) + (2 \times 2 + 2) + (2 \times 3 + 4) + \cdots + (2n + 2^n)$

参考答案

解题思路：展开后分组。

详细步骤：

$S_n = (2 + 4 + 6 + \cdots + 2n) + (1 + 2 + 4 + \cdots + 2^n)$

第一组是首项为2，公差为2的等差数列：

$\sum_{k=1}^{n} 2k = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$

第二组是等比数列：

$\sum_{k=0}^{n} 2^k = \frac{2^{n+1} - 1}{2 - 1} = 2^{n+1} - 1$

$S_n = n(n+1) + 2^{n+1} - 1$

答案：$S_n = n(n+1) + 2^{n+1} - 1$

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$S_n$	求和符号	S sub n	数列前 $n$ 项的和
$a_n$	元素符号	a sub n	原数列的第 $n$ 项
$b_n, c_n$	元素符号	b sub n, c sub n	分组后的子数列

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
分组求和法	grouping method	/ˈɡruːpɪŋ ˈmeθəd/	将数列分组后分别求和的方法
复合数列	composite sequence	/ˈkɒmpəzɪt ˈsiːkwəns/	由多个简单数列组合而成的数列
平方和	sum of squares	/sʌm əv skweəz/	$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2$

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