人口增长

人口增长是数列应用的经典例子，从简单的指数增长模型到复杂的Logistic模型，都涉及数列知识。

指数增长模型

最简单的人口增长模型假设：每年人口增长率固定。

设第 $n$ 年人口为 $P_n$，年增长率为 $r$，则：

$P_{n+1} = P_n(1+r)$

这是等比数列！

指数增长公式

$$P_n = P_0(1+r)^n$$

其中 $P_0$ 是初始人口。

实际应用

例1：城市人口预测

某城市2020年人口100万，年增长率2%，预测2030年人口。

解：

$P_{10} = 100 \times 1.02^{10} \approx 121.9 \text{万}$

例2：细菌繁殖

某细菌每小时分裂一次（数量翻倍），初始有1000个，6小时后有多少个？

解：

$P_6 = 1000 \times 2^6 = 64000 \text{个}$

例3：翻倍时间

人口年增长率3%，多少年后人口翻倍？

解：

$P_0 \times 1.03^n = 2P_0$ $1.03^n = 2$ $n = \frac{\ln 2}{\ln 1.03} \approx 23.4 \text{年}$

Logistic模型（选学）

实际中，人口不会无限增长，会受到资源限制。Logistic模型考虑了环境承载力 $K$：

$P_{n+1} = P_n + rP_n\left(1 - \frac{P_n}{K}\right)$

当 $P_n$ 接近 $K$ 时，增长率趋于0。

疫情传播模型

COVID-19等疫情的传播也可用类似模型：

$I_{n+1} = I_n \cdot R_0 \cdot \left(1 - \frac{I_n}{N}\right)$

其中 $R_0$ 是基本再生数，$N$ 是总人口，$I_n$ 是第 $n$ 天感染人数。

练习题

练习 1

某国2020年人口5000万，年增长率1.5%，预测2050年人口。

参考答案

解：

$P_{30} = 5000 \times 1.015^{30} \approx 7816 \text{万}$

答案：约7816万

练习 2

某种病毒每天传播率为50%（每个感染者平均传染0.5人），初始10人感染，7天后约有多少人感染？（假设总人口足够大）

参考答案

解：

简化模型（忽略环境承载力）：

$I_7 = 10 \times 1.5^7 \approx 171 \text{人}$

答案：约171人

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总结

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
指数增长	exponential growth	/ˌekspəˈnenʃəl ɡrəʊθ/	按固定比例增长
增长率	growth rate	/ɡrəʊθ reɪt/	每期增长的百分比
承载力	carrying capacity	/ˈkæriɪŋ kəˈpæsəti/	环境能承载的最大数量

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