倒序相加法

倒序相加法是高斯小时候用来计算 $1+2+\cdots+100$ 的巧妙方法。这个方法利用数列的对称性，通过正序和倒序相加来简化计算。

方法原理

倒序相加法

对于具有对称性的数列，将其正序和倒序排列后相加，利用 $a_k + a_{n-k+1}$ 为常数的性质简化求和。

基本步骤：

1. 写出正序和：$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$
2. 写出倒序和：$S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \cdots + a_1$
3. 两式相加：$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \cdots + (a_n + a_1)$
4. 如果每对和相等，则 $2S_n = n(a_1 + a_n)$

适用场景

倒序相加法适用于满足以下条件的数列：

典型例子：

• 等差数列：$a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$
• 组合数：$C_n^k + C_n^{n-k} = C_n^k + C_n^k$（当 $k = n-k$ 时）

经典应用：高斯求和

小高斯计算 $1+2+3+\cdots+100$ 的方法：

$$\begin{aligned} S &= 1 + 2 + 3 + \cdots + 98 + 99 + 100 \\ S &= 100 + 99 + 98 + \cdots + 3 + 2 + 1 \\ \hline 2S &= 101 + 101 + 101 + \cdots + 101 + 101 + 101 \quad (\text{共100个101}) \end{aligned}$$

$2S = 100 \times 101 = 10100$

$S = 5050$

这正是等差数列求和公式的推导方法！

应用示例

示例1：等差数列求和

求和：$S_n = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1)$

解：

$$\begin{aligned} S_n &= 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) \\ S_n &= (2n-1) + (2n-3) + (2n-5) + \cdots + 1 \\ \hline 2S_n &= 2n + 2n + 2n + \cdots + 2n \quad (\text{共 $n$ 个 $2n$}) \end{aligned}$$

$2S_n = n \times 2n = 2n^2$

$S_n = n^2$

示例2：对称数列

求和：$S_n = \frac{1}{1+\sqrt{n}} + \frac{1}{1+\sqrt{n-1}} + \cdots + \frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{1+\sqrt{1}}$

解：

设 $a_k = \frac{1}{1+\sqrt{k}}$，则：

$S_n = a_n + a_{n-1} + \cdots + a_2 + a_1$

倒序：

$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} + a_n$

观察：$a_k + a_{n-k+1}$ 是否为常数？

实际上，这个例子不满足简单的对称性，需要其他方法。

示例3：组合数求和

求和：$S_n = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^n$

解：

利用组合数性质 $C_n^k = C_n^{n-k}$：

$$\begin{aligned} S_n &= C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^n \\ S_n &= C_n^n + C_n^{n-1} + C_n^{n-2} + \cdots + C_n^0 \\ \hline 2S_n &= (C_n^0 + C_n^n) + (C_n^1 + C_n^{n-1}) + \cdots \end{aligned}$$

但更简单的方法是利用二项式定理：$(1+1)^n = 2^n$

倒序相加法的本质是什么？

倒序相加法的本质是利用对称性消除变量。

当数列满足 $a_k + a_{n-k+1} = C$（常数）时，正序和倒序相加后，每一对的和都是 $C$，共有 $n$ 对，所以 $2S_n = nC$。

这个方法的巧妙之处在于：

1. 化繁为简：将变化的项变成常数
2. 整体思维：不是逐项计算，而是整体处理
3. 对称美：体现了数学的对称之美

这也是为什么等差数列求和公式可以写成 $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ 的原因！

练习题

练习 1

求和：$S_n = 2 + 4 + 6 + \cdots + 2n$

参考答案

解题思路：使用倒序相加法。

详细步骤：

$$\begin{aligned} S_n &= 2 + 4 + 6 + \cdots + 2n \\ S_n &= 2n + 2(n-1) + 2(n-2) + \cdots + 2 \\ \hline 2S_n &= (2 + 2n) + (4 + 2n-2) + \cdots = (2n+2) \times n \end{aligned}$$

$S_n = \frac{n(2n+2)}{2} = n(n+1)$

答案：$S_n = n(n+1)$

练习 2

求和：$S = 1 \times 2024 + 2 \times 2023 + 3 \times 2022 + \cdots + 2024 \times 1$

参考答案

解题思路：设 $a_k = k(2025-k)$，使用倒序相加。

详细步骤：

$$\begin{aligned} S &= 1 \times 2024 + 2 \times 2023 + \cdots + 2024 \times 1 \\ S &= 2024 \times 1 + 2023 \times 2 + \cdots + 1 \times 2024 \\ \hline 2S &= (1 \times 2024 + 2024 \times 1) + (2 \times 2023 + 2023 \times 2) + \cdots \end{aligned}$$

每一对：$k(2025-k) + (2025-k)k = 2k(2025-k)$

$2S = \sum_{k=1}^{2024} 2k(2025-k) = 2\sum_{k=1}^{2024} k(2025-k)$

这样会循环，换个思路：

$a_k + a_{2025-k} = k(2025-k) + (2025-k)k = 2k(2025-k)$

实际上每项本身就对称，所以：

$S = \sum_{k=1}^{2024} k(2025-k) = 2025\sum_{k=1}^{2024} k - \sum_{k=1}^{2024} k^2$

$= 2025 \times \frac{2024 \times 2025}{2} - \frac{2024 \times 2025 \times 4049}{6}$

$= \frac{2024 \times 2025 \times 2023}{3}$

答案：$S = \frac{2024 \times 2025 \times 2023}{3}$

---

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$S_n$	求和符号	S sub n	数列前 $n$ 项的和
$a_k$	元素符号	a sub k	数列的第 $k$ 项
$C_n^k$	组合数	C n choose k	从 $n$ 个元素中选 $k$ 个的方法数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
倒序相加法	reverse order addition	/rɪˈvɜːs ˈɔːdə əˈdɪʃən/	正序和倒序相加的求和方法
对称性	symmetry	/ˈsɪmətri/	数列首尾对应项的关系
组合数	binomial coefficient	/baɪˈnəʊmiəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/	二项式系数

上一章节 分组求和法 下一章节 错位相减法