证明等式

用数学归纳法证明等式是最常见的应用。这类问题通常涉及求和公式、乘积公式或递推关系。

证明策略

证明等式 $f(n) = g(n)$ 的步骤：

1. 基础步骤：验证 $f(n_0) = g(n_0)$
2. 归纳假设：假设 $f(k) = g(k)$
3. 归纳步骤：利用归纳假设，证明 $f(k+1) = g(k+1)$

应用示例

示例1：等比数列求和

命题：证明 $1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1} = 2^n - 1$

证明：

基础步骤：$n = 1$ 时，左边 $= 1$，右边 $= 2^1 - 1 = 1$，成立。

归纳假设：假设 $1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{k-1} = 2^k - 1$

归纳步骤：

$$\begin{aligned} &1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{k-1} + 2^k \\ &= (2^k - 1) + 2^k \quad \text{（归纳假设）} \\ &= 2 \cdot 2^k - 1 \\ &= 2^{k+1} - 1 \end{aligned}$$

结论：由数学归纳法，等式成立。

示例2：立方和公式

命题：证明 $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$

证明：

基础步骤：$n = 1$ 时，左边 $= 1$，右边 $= \left[\frac{1 \times 2}{2}\right]^2 = 1$，成立。

归纳假设：假设 $1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 = \left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^2$

归纳步骤：

$$\begin{aligned} &1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 + (k+1)^3 \\ &= \left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^2 + (k+1)^3 \\ &= \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 \\ &= \frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4} \\ &= \frac{(k+1)^2[k^2 + 4(k+1)]}{4} \\ &= \frac{(k+1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4} \\ &= \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} \\ &= \left[\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^2 \end{aligned}$$

结论：由数学归纳法，等式成立。

示例3：递推数列

命题：数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = 2a_n + 1$。证明 $a_n = 2^n - 1$。

证明：

基础步骤：$n = 1$ 时，$a_1 = 1 = 2^1 - 1$，成立。

归纳假设：假设 $a_k = 2^k - 1$

归纳步骤：

$$\begin{aligned} a_{k+1} &= 2a_k + 1 \\ &= 2(2^k - 1) + 1 \quad \text{（归纳假设）} \\ &= 2^{k+1} - 2 + 1 \\ &= 2^{k+1} - 1 \end{aligned}$$

结论：由数学归纳法，$a_n = 2^n - 1$ 对所有 $n \geq 1$ 成立。

练习题

练习 1

证明：$1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \cdots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

参考答案

基础步骤：$n = 1$ 时，左边 $= 1 \times 2 = 2$，右边 $= \frac{1 \times 2 \times 3}{3} = 2$，成立。

归纳假设：假设等式对 $n = k$ 成立。

归纳步骤：

$$\begin{aligned} &1 \times 2 + \cdots + k(k+1) + (k+1)(k+2) \\ &= \frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) \\ &= \frac{k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2)}{3} \\ &= \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} \end{aligned}$$

结论：由数学归纳法，等式成立。

练习 2

证明：$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}$

参考答案

基础步骤：$n = 1$ 时，左边 $= \frac{1}{2}$，右边 $= \frac{1}{2}$，成立。

归纳假设：假设等式对 $n = k$ 成立。

归纳步骤：

$$\begin{aligned} &\frac{1}{1 \times 2} + \cdots + \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} \\ &= \frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} \\ &= \frac{k(k+2) + 1}{(k+1)(k+2)} \\ &= \frac{k^2 + 2k + 1}{(k+1)(k+2)} \\ &= \frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)} \\ &= \frac{k+1}{k+2} \end{aligned}$$

结论：由数学归纳法，等式成立。

练习 3

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 2$，$a_{n+1} = 3a_n - 2$。证明 $a_n = 2^n$。

参考答案

基础步骤：$n = 1$ 时，$a_1 = 2 = 2^1$，成立。

归纳假设：假设 $a_k = 2^k$

归纳步骤：

$$\begin{aligned} a_{k+1} &= 3a_k - 2 \\ &= 3 \cdot 2^k - 2 \\ &= 3 \cdot 2^k - 2^1 \\ &= 2(3 \cdot 2^{k-1} - 1) \end{aligned}$$

这个方法不太对。让我们验证：$a_2 = 3 \times 2 - 2 = 4 = 2^2$ ✓

重新证明：

$$\begin{aligned} a_{k+1} &= 3a_k - 2 \\ &= 3 \cdot 2^k - 2 \end{aligned}$$

我们需要证明这等于 $2^{k+1}$。但 $3 \cdot 2^k - 2 \neq 2^{k+1}$。

让我验证：$a_3 = 3 \times 4 - 2 = 10 \neq 8$

所以 $a_n = 2^n$ 不成立。正确的通项应该是 $a_n = 2^n + 2^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-1}$…

实际上，让我重新计算：$a_1 = 2, a_2 = 4, a_3 = 10$…

通过递推可以发现 $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$。

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总结

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
求和公式	summation formula	/sʌˈmeɪʃən ˈfɔːmjələ/	表示和的公式
递推关系	recurrence relation	/rɪˈkɜːrəns rɪˈleɪʃən/	通过前项定义后项的关系
立方和	sum of cubes	/sʌm əv kjuːbz/	$1^3 + 2^3 + \cdots + n^3$

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