错位相减法

错位相减法是我们在推导等比数列求和公式时使用的方法。它专门用于处理等差数列与等比数列乘积形成的数列。

方法原理

错位相减法

对于形如 $a_n = b_n \cdot c_n$ 的数列，其中 $\{b_n\}$ 是等差数列，$\{c_n\}$ 是等比数列（公比为 $q$），通过乘以公比 $q$ 后错位相减来求和。

基本步骤：

1. 写出 $S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$
2. 两边同乘公比 $q$：$qS_n = a_1 q + a_2 q + a_3 q + \cdots + a_n q$
3. 错位相减：$S_n - qS_n$
4. 化简得到 $S_n$

适用场景

错位相减法适用于：

典型例子：

• $a_n = n \cdot 2^n$
• $a_n = (2n+1) \cdot 3^n$
• $a_n = n^2 \cdot q^n$

经典应用：等比数列求和

回顾等比数列求和公式的推导：

$S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n-1}$

两边乘以 $q$：

$qS_n = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + \cdots + a_1 q^n$

错位相减：

$$\begin{aligned} S_n - qS_n &= a_1 - a_1 q^n \\ S_n(1-q) &= a_1(1-q^n) \\ S_n &= \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \end{aligned}$$

应用示例

示例1：基本形式

求和：$S_n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n$

解：

$S_n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n$

两边乘以2：

$2S_n = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \cdots + n \cdot 2^{n+1}$

错位相减：

$$\begin{aligned} S_n - 2S_n &= 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^3 + \cdots + 1 \cdot 2^n - n \cdot 2^{n+1} \\ -S_n &= 2(1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1}) - n \cdot 2^{n+1} \\ -S_n &= 2 \cdot \frac{2^n - 1}{2 - 1} - n \cdot 2^{n+1} \\ -S_n &= 2^{n+1} - 2 - n \cdot 2^{n+1} \\ -S_n &= (1-n) \cdot 2^{n+1} - 2 \\ S_n &= (n-1) \cdot 2^{n+1} + 2 \end{aligned}$$

示例2：带系数的等差数列

求和：$S_n = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^n$

解：

$S_n = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^n$

两边乘以3：

$3S_n = 1 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + 5 \cdot 3^4 + \cdots + (2n-1) \cdot 3^{n+1}$

错位相减：

$$\begin{aligned} S_n - 3S_n &= 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + \cdots + 2 \cdot 3^n - (2n-1) \cdot 3^{n+1} \\ -2S_n &= 3 + 2(3^2 + 3^3 + \cdots + 3^n) - (2n-1) \cdot 3^{n+1} \\ -2S_n &= 3 + 2 \cdot \frac{3^2(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} - (2n-1) \cdot 3^{n+1} \\ -2S_n &= 3 + 3^2(3^{n-1} - 1) - (2n-1) \cdot 3^{n+1} \\ -2S_n &= 3 + 3^{n+1} - 9 - (2n-1) \cdot 3^{n+1} \\ -2S_n &= -6 + (1 - 2n + 1) \cdot 3^{n+1} \\ -2S_n &= -6 + (2 - 2n) \cdot 3^{n+1} \\ S_n &= 3 + (n-1) \cdot 3^{n+1} \end{aligned}$$

为什么叫'错位'相减？

“错位”指的是两个式子的对应项位置不同：

原式： $S_n = \underline{1 \cdot 2} + \underline{2 \cdot 2^2} + \underline{3 \cdot 2^3} + \cdots + \underline{n \cdot 2^n}$

乘以q后： $qS_n = \quad\quad\quad \underline{1 \cdot 2^2} + \underline{2 \cdot 2^3} + \cdots + \underline{(n-1) \cdot 2^n} + \underline{n \cdot 2^{n+1}}$

可以看到，第二个式子的每一项都比第一个式子”错后一位”。相减时：

• 第一项单独保留
• 中间项两两相减（系数相减，指数相同）
• 最后一项单独保留

这种”错位”正是方法名称的由来！

练习题

练习 1

求和：$S_n = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \cdots + n \cdot 3^n$

参考答案

解题思路：使用错位相减法。

详细步骤：

$S_n = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \cdots + n \cdot 3^n$

$3S_n = 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^4 + \cdots + n \cdot 3^{n+1}$

$$\begin{aligned} S_n - 3S_n &= 3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^n - n \cdot 3^{n+1} \\ -2S_n &= \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} - n \cdot 3^{n+1} \\ -2S_n &= \frac{3^{n+1} - 3}{2} - n \cdot 3^{n+1} \\ S_n &= \frac{(2n-1) \cdot 3^{n+1} + 3}{4} \end{aligned}$$

答案：$S_n = \frac{(2n-1) \cdot 3^{n+1} + 3}{4}$

练习 2

求和：$S_n = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots + nx^{n-1}$ ($x \neq 1$)

参考答案

解题思路：错位相减法。

详细步骤：

$S_n = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots + nx^{n-1}$

$xS_n = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + \cdots + nx^n$

$$\begin{aligned} S_n - xS_n &= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{n-1} - nx^n \\ (1-x)S_n &= \frac{1-x^n}{1-x} - nx^n \\ S_n &= \frac{1-x^n}{(1-x)^2} - \frac{nx^n}{1-x} \\ S_n &= \frac{1 - x^n - nx^n(1-x)}{(1-x)^2} \\ S_n &= \frac{1 - (n+1)x^n + nx^{n+1}}{(1-x)^2} \end{aligned}$$

答案：$S_n = \frac{1 - (n+1)x^n + nx^{n+1}}{(1-x)^2}$

练习 3

改编自考研真题

求和：$S_n = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \cdots + (2n-1) \cdot 2^n$

参考答案

解题思路：等差数列 $(2n-1)$ 与等比数列 $2^n$ 的乘积。

详细步骤：

$S_n = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \cdots + (2n-1) \cdot 2^n$

$2S_n = 1 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^4 + \cdots + (2n-1) \cdot 2^{n+1}$

$$\begin{aligned} S_n - 2S_n &= 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \cdots + 2 \cdot 2^n - (2n-1) \cdot 2^{n+1} \\ -S_n &= 2 + 2(2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n) - (2n-1) \cdot 2^{n+1} \\ -S_n &= 2 + 2 \cdot \frac{4(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} - (2n-1) \cdot 2^{n+1} \\ -S_n &= 2 + 2^{n+2} - 8 - (2n-1) \cdot 2^{n+1} \\ -S_n &= -6 + 2^{n+2} - (2n-1) \cdot 2^{n+1} \\ -S_n &= -6 + 2^{n+1}(2 - 2n + 1) \\ S_n &= 6 + (2n-3) \cdot 2^{n+1} \end{aligned}$$

答案：$S_n = 6 + (2n-3) \cdot 2^{n+1}$

---

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$S_n$	求和符号	S sub n	数列前 $n$ 项的和
$q$	参数	quotient	等比数列的公比
$a_n$	元素符号	a sub n	数列的第 $n$ 项

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
错位相减法	dislocation subtraction	/ˌdɪsləʊˈkeɪʃən səbˈtrækʃən/	乘以公比后错位相减的求和方法
等差等比乘积	arithmetic-geometric product	/ˌærɪθˈmetɪk-ˌdʒiːəˈmetrɪk ˈprɒdʌkt/	等差数列与等比数列的乘积

上一章节 倒序相加法