aₙ₊₁ = qaₙ + d 型

这是最重要的混合型递推关系，需要掌握不动点法求解。

递推关系

混合型递推关系

$$a_{n+1} = qa_n + d \quad (q \neq 0, 1; d \neq 0)$$

特征：既有乘法（$qa_n$）又有加法（$+d$）。

求解方法：不动点法

步骤1：找不动点

设 $x$ 为不动点，满足 $x = qx + d$，解得：

$x = \frac{d}{1-q}$

步骤2：构造新数列

令 $b_n = a_n - x$，则：

$$\begin{aligned} b_{n+1} &= a_{n+1} - x \\ &= (qa_n + d) - x \\ &= qa_n + d - \frac{d}{1-q} \\ &= qa_n - \frac{qd}{1-q} \\ &= q\left(a_n - \frac{d}{1-q}\right) \\ &= q(a_n - x) \\ &= qb_n \end{aligned}$$

所以 $\{b_n\}$ 是等比数列，公比为 $q$。

步骤3：求通项

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = (a_1 - x) \cdot q^{n-1}$

因此：

通项公式

$$a_n = x + (a_1 - x) \cdot q^{n-1} = \frac{d}{1-q} + \left(a_1 - \frac{d}{1-q}\right) \cdot q^{n-1}$$

应用示例

示例1：基本求解

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = 2a_n + 3$，求通项公式。

解：

步骤1：找不动点 $x = 2x + 3 \quad \Rightarrow \quad x = -3$

步骤2：构造新数列 $b_n = a_n - (-3) = a_n + 3$

则 $b_{n+1} = 2b_n$，$b_1 = a_1 + 3 = 4$

步骤3：求通项 $b_n = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$

$a_n = b_n - 3 = 2^{n+1} - 3$

示例2：实际应用

某产品第一年销量100件，以后每年销量是上一年的1.2倍再加50件。求第 $n$ 年的销量。

解：

设第 $n$ 年销量为 $a_n$ 件，则：

• $a_1 = 100$
• $a_{n+1} = 1.2a_n + 50$

不动点：$x = 1.2x + 50$，得 $x = -250$

令 $b_n = a_n + 250$，则 $b_{n+1} = 1.2b_n$，$b_1 = 350$

$b_n = 350 \cdot 1.2^{n-1}$

$a_n = 350 \cdot 1.2^{n-1} - 250$

特殊情况

当 $q = 1$ 时

递推关系变为 $a_{n+1} = a_n + d$，这是等差数列。

当 $d = 0$ 时

递推关系变为 $a_{n+1} = qa_n$，这是等比数列。

练习题

练习 1

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 2$，$a_{n+1} = 3a_n - 4$，求通项公式。

参考答案

解：

不动点：$x = 3x - 4$，得 $x = 2$

令 $b_n = a_n - 2$，则 $b_{n+1} = 3b_n$，$b_1 = 0$

$b_n = 0 \cdot 3^{n-1} = 0$

$a_n = b_n + 2 = 2$

答案：$a_n = 2$（常数列）

练习 2

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 5$，$a_{n+1} = 2a_n + 1$，求 $a_5$。

参考答案

解：

不动点：$x = 2x + 1$，得 $x = -1$

令 $b_n = a_n + 1$，则 $b_{n+1} = 2b_n$，$b_1 = 6$

$b_5 = 6 \cdot 2^4 = 96$

$a_5 = b_5 - 1 = 95$

答案：$a_5 = 95$

练习 3

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 0$，$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 3$，求通项公式。

参考答案

解：

不动点：$x = \frac{1}{2}x + 3$，得 $x = 6$

令 $b_n = a_n - 6$，则 $b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$，$b_1 = -6$

$b_n = -6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = -6 \cdot \frac{1}{2^{n-1}} = -\frac{12}{2^n}$

$a_n = b_n + 6 = 6 - \frac{12}{2^n} = 6 - \frac{3}{2^{n-2}}$

答案：$a_n = 6 - 3 \cdot 2^{2-n}$

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总结

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
混合型	mixed type	/mɪkst taɪp/	同时包含乘法和加法的递推
不动点	fixed point	/fɪkst pɔɪnt/	满足 $x = f(x)$ 的点
不动点法	fixed point method	/fɪkst pɔɪnt ˈmeθəd/	通过不动点求解递推关系的方法

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