等差数列的定义

等差数列是数列中最基础、最重要的类型。理解它的定义是掌握后续所有内容的关键。

定义

等差数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence）。这个常数叫做等差数列的公差（common difference），通常用字母 $d$ 表示。

用数学语言表达：对于数列 $\{a_n\}$，如果

$a_{n+1} - a_n = d \quad (n \in \mathbb{N}^*, d \text{ 为常数})$

则 $\{a_n\}$ 是等差数列。

判定方法

判断一个数列是否为等差数列，有以下几种方法：

方法一：定义法

验证相邻两项的差是否为常数。

示例1：判断数列 $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$ 是否为等差数列。

解：

• $a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$
• $a_3 - a_2 = 8 - 5 = 3$
• $a_4 - a_3 = 11 - 8 = 3$
• $a_5 - a_4 = 14 - 11 = 3$

相邻两项的差都等于 3，因此这是公差为 3 的等差数列。

方法二：通项公式法

如果数列的通项公式可以写成 $a_n = kn + b$（$k, b$ 为常数）的形式，则该数列是等差数列，公差 $d = k$。

示例2：数列 $a_n = 3n - 1$ 是等差数列吗？

解： $a_n = 3n - 1$

这是 $kn + b$ 的形式，其中 $k = 3, b = -1$，所以是等差数列，公差 $d = 3$。

验证：$a_1 = 2, a_2 = 5, a_3 = 8, \ldots$，确实是公差为 3 的等差数列。

公差的意义

公差 $d$ 决定了等差数列的变化趋势：

• $d > 0$：数列递增（如 $1, 3, 5, 7, \ldots$）
• $d < 0$：数列递减（如 $10, 7, 4, 1, \ldots$）
• $d = 0$：数列为常数列（如 $5, 5, 5, 5, \ldots$）

为什么常数列（所有项都相同的数列）也是等差数列？

因为常数列满足等差数列的定义：相邻两项的差为常数。对于常数列，每一项都相同，所以相邻两项的差为 0，即公差 $d = 0$。虽然看起来”没有变化”，但从数学定义的角度，它完全符合等差数列的条件。

特殊情况

只有一项的数列

只有一项的数列可以看作任意公差的等差数列，因为没有”相邻两项”来确定公差。

只有两项的数列

任意两项的数列都是等差数列，公差 $d = a_2 - a_1$。

练习题

练习 1

判断下列数列是否为等差数列，如果是，请指出公差：

1. $1, 4, 7, 10, 13, \ldots$
2. $5, 5, 5, 5, 5, \ldots$
3. $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$
4. $-3, -1, 1, 3, 5, \ldots$

参考答案

解题思路：检查相邻两项的差是否为常数。

详细步骤：

1. $a_2 - a_1 = 4 - 1 = 3$，$a_3 - a_2 = 7 - 4 = 3$，$a_4 - a_3 = 10 - 7 = 3$

   是等差数列，公差 $d = 3$

2. $a_2 - a_1 = 5 - 5 = 0$，$a_3 - a_2 = 5 - 5 = 0$

   是等差数列，公差 $d = 0$（常数列）

3. $a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$，$a_3 - a_2 = 4 - 2 = 2$，$a_4 - a_3 = 8 - 4 = 4$

   相邻两项的差不相等，不是等差数列

4. $a_2 - a_1 = -1 - (-3) = 2$，$a_3 - a_2 = 1 - (-1) = 2$，$a_4 - a_3 = 3 - 1 = 2$

   是等差数列，公差 $d = 2$

练习 2

已知数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = 2 - 3n$，判断该数列是否为等差数列，如果是，求出公差。

参考答案

解题思路：通项公式法，看是否能写成 $kn + b$ 的形式。

详细步骤：

$a_n = 2 - 3n = -3n + 2$

这是 $kn + b$ 的形式，其中 $k = -3, b = 2$。

因此，$\{a_n\}$ 是等差数列，公差 $d = -3$。

验证：

• $a_1 = 2 - 3 = -1$
• $a_2 = 2 - 6 = -4$
• $a_3 = 2 - 9 = -7$
• $a_2 - a_1 = -4 - (-1) = -3$
• $a_3 - a_2 = -7 - (-4) = -3$

确实是公差为 $-3$ 的等差数列。

练习 3

在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_3 = 7$，$a_5 = 13$，求公差 $d$。

参考答案

解题思路：利用等差数列的定义，相邻两项的差为公差。

详细步骤：

从 $a_3$ 到 $a_5$ 经过了 2 个公差：

$a_5 - a_3 = 2d$

代入已知条件：

$13 - 7 = 2d$ $6 = 2d$ $d = 3$

答案：公差 $d = 3$

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$d$	参数	difference	等差数列的公差
$\{a_n\}$	数列记号	sequence notation	表示一个数列
$a_n$	元素符号	a sub n	数列的第 $n$ 项
$\mathbb{N}^*$	数学符号	positive integers	正整数集

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
等差数列	arithmetic sequence	/ˌærɪθˈmetɪk ˈsiːkwəns/	相邻项差为常数的数列
公差	common difference	/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/	等差数列中相邻两项的差值
递增	increasing	/ɪnˈkriːsɪŋ/	数列项逐渐变大
递减	decreasing	/dɪˈkriːsɪŋ/	数列项逐渐变小
常数列	constant sequence	/ˈkɒnstənt ˈsiːkwəns/	所有项都相同的数列

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