等比数列的定义

等比数列是数列中另一种基本类型。理解它的定义是掌握指数增长规律的第一步。

定义

等比数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），通常用字母 $q$ 表示。

用数学语言表达：对于数列 $\{a_n\}$，如果

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad (n \in \mathbb{N}^*, q \neq 0 \text{ 为常数})$

则 $\{a_n\}$ 是等比数列。

判定方法

判断一个数列是否为等比数列，有以下几种方法：

方法一：定义法

验证相邻两项的比是否为常数。

示例1：判断数列 $2, 6, 18, 54, \ldots$ 是否为等比数列。

解：

• $\frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{2} = 3$
• $\frac{a_3}{a_2} = \frac{18}{6} = 3$
• $\frac{a_4}{a_3} = \frac{54}{18} = 3$

相邻两项的比都等于 3，因此这是公比为 3 的等比数列。

方法二：通项公式法

如果数列的通项公式可以写成 $a_n = c \cdot q^n$ 或 $a_n = c \cdot q^{n-1}$（$c, q$ 为非零常数）的形式，则该数列是等比数列。

示例2：数列 $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ 是等比数列吗？

解：

这是 $c \cdot q^{n-1}$ 的形式，其中 $c = 3, q = 2$，所以是等比数列，公比 $q = 2$。

验证：$a_1 = 3, a_2 = 6, a_3 = 12, \ldots$，确实是公比为 2 的等比数列。

公比的意义

公比 $q$ 决定了等比数列的变化趋势：

• $q > 1$：数列递增（如 $2, 4, 8, 16, \ldots$）
• $0 < q < 1$：数列递减（如 $8, 4, 2, 1, \ldots$）
• $q < 0$：数列正负交替（如 $1, -2, 4, -8, \ldots$）
• $q = 1$：数列为常数列（如 $5, 5, 5, 5, \ldots$）

等比数列和等差数列有什么本质区别？

等差数列是”加法”的世界，每次增加一个固定的量（公差），体现的是线性增长。它的通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 是一次函数。

等比数列是”乘法”的世界，每次乘以一个固定的倍数（公比），体现的是指数增长。它的通项公式 $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ 是指数函数。

形象地说：

• 等差数列像爬楼梯，每次上升固定高度
• 等比数列像滚雪球，每次增长固定倍数

这就是为什么等比数列增长得更快（当 $q > 1$ 时）！

特殊情况

只有一项的数列

只有一项的数列可以看作任意公比的等比数列，因为没有”相邻两项”来确定公比。

只有两项的数列

任意两项（都不为零）的数列都是等比数列，公比 $q = \frac{a_2}{a_1}$。

含有零的数列

如果数列中有一项为零，则该数列不是等比数列，因为比值无意义。

练习题

练习 1

判断下列数列是否为等比数列，如果是，请指出公比：

1. $3, 9, 27, 81, \ldots$
2. $1, 1, 1, 1, \ldots$
3. $1, 2, 3, 4, \ldots$
4. $16, 8, 4, 2, \ldots$

参考答案

解题思路：检查相邻两项的比是否为常数。

详细步骤：

1. $\frac{a_2}{a_1} = \frac{9}{3} = 3$，$\frac{a_3}{a_2} = \frac{27}{9} = 3$，$\frac{a_4}{a_3} = \frac{81}{27} = 3$

   是等比数列，公比 $q = 3$

2. $\frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{1} = 1$，$\frac{a_3}{a_2} = \frac{1}{1} = 1$

   是等比数列，公比 $q = 1$（常数列）

3. $\frac{a_2}{a_1} = \frac{2}{1} = 2$，$\frac{a_3}{a_2} = \frac{3}{2} = 1.5$，$\frac{a_4}{a_3} = \frac{4}{3} \approx 1.33$

   相邻两项的比不相等，不是等比数列

4. $\frac{a_2}{a_1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$，$\frac{a_3}{a_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$，$\frac{a_4}{a_3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

   是等比数列，公比 $q = \frac{1}{2}$

练习 2

已知数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$，判断该数列是否为等比数列，如果是，求出公比。

参考答案

解题思路：通项公式法，看是否能写成 $c \cdot q^{n-1}$ 的形式。

详细步骤：

$a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$

这是 $c \cdot q^{n-1}$ 的形式，其中 $c = 5, q = -2$。

因此，$\{a_n\}$ 是等比数列，公比 $q = -2$。

验证：

• $a_1 = 5 \cdot (-2)^0 = 5$
• $a_2 = 5 \cdot (-2)^1 = -10$
• $a_3 = 5 \cdot (-2)^2 = 20$
• $\frac{a_2}{a_1} = \frac{-10}{5} = -2$
• $\frac{a_3}{a_2} = \frac{20}{-10} = -2$

确实是公比为 $-2$ 的等比数列。

练习 3

在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_2 = 6$，$a_5 = 48$，求公比 $q$。

参考答案

解题思路：利用等比数列的定义，相邻两项的比为公比。

详细步骤：

从 $a_2$ 到 $a_5$ 经过了 3 次乘以公比：

$a_5 = a_2 \cdot q^3$

代入已知条件：

$48 = 6 \cdot q^3$ $q^3 = 8$ $q = 2$

答案：公比 $q = 2$

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$q$	参数	quotient	等比数列的公比
$\{a_n\}$	数列记号	sequence notation	表示一个数列
$a_n$	元素符号	a sub n	数列的第 $n$ 项
$\mathbb{N}^*$	数学符号	positive integers	正整数集

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
等比数列	geometric sequence	/ˌdʒiːəˈmetrɪk ˈsiːkwəns/	相邻项比为常数的数列
公比	common ratio	/ˈkɒmən ˈreɪʃiəʊ/	等比数列中相邻两项的比值
指数增长	exponential growth	/ˌekspəˈnenʃəl ɡrəʊθ/	按固定倍数增长
线性增长	linear growth	/ˈlɪniə ɡrəʊθ/	按固定量增长
常数列	constant sequence	/ˈkɒnstənt ˈsiːkwəns/	所有项都相同的数列

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