收敛判别法

判断数列是否收敛以及求极限值是极限理论的核心问题。本节介绍几种重要的判别方法和常用极限。

常用极限

掌握这些基本极限对于计算复杂极限非常重要：

基本极限

$$\begin{aligned} &1. \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0 \quad (k > 0) \\ &2. \quad \lim_{n \to \infty} q^n = \begin{cases} 0, & |q| < 1 \\ 1, & q = 1 \\ \infty, & q > 1 \\ \text{不存在}, & q \leq -1 \end{cases} \\ &3. \quad \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \quad (a > 0) \\ &4. \quad \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \end{aligned}$$

重要极限：自然常数 $e$

e的定义

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2.71828\cdots$$

这是数学中最重要的常数之一，它在微积分、概率论、复利计算等领域都有重要应用。

推广形式：

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{k}{n}\right)^n = e^k$

比值判别法

对于正项数列 $\{a_n\}$，如果 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = q$，则：

• 若 $q < 1$，则 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$
• 若 $q > 1$，则 $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$
• 若 $q = 1$，无法判断

示例：判断 $a_n = \frac{2^n}{n!}$ 的极限

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1} \to 0 < 1$

因此 $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n!} = 0$

根值判别法

对于正项数列 $\{a_n\}$，如果 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = q$，则：

• 若 $q < 1$，则 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$
• 若 $q > 1$，则 $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$
• 若 $q = 1$，无法判断

应用示例

示例1：使用重要极限

求 $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n$

解：

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left[\left(1 + \frac{2}{n}\right)^{\frac{n}{2}}\right]^2 = e^2$

示例2：比值判别法

判断 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^{10}}{2^n}$

解：

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{10}}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^{10}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^{10} = \frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{10} \to \frac{1}{2} < 1$

因此 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^{10}}{2^n} = 0$

（指数增长快于多项式增长）

练习题

练习 1

求 $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$

参考答案

解：

$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{-1}{n}\right)^n = e^{-1} = \frac{1}{e}$

答案：$\frac{1}{e}$

练习 2

求 $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n!}$

参考答案

解：

使用比值判别法：

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1} \to 0 < 1$

因此 $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n!} = 0$

答案：$0$

练习 3

求 $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n}$

参考答案

解：

$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n} = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} = \lim_{n \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right]^2 = e^2$

答案：$e^2$

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$e$	常数	Euler’s number	自然常数，约2.71828
$n!$	阶乘	n factorial	$1 \times 2 \times \cdots \times n$

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
自然常数	natural constant	/ˈnætʃrəl ˈkɒnstənt/	常数 $e$
比值判别法	ratio test	/ˈreɪʃiəʊ test/	通过相邻项的比判断收敛性
根值判别法	root test	/ruːt test/	通过 $n$ 次根判断收敛性
连续复利	continuous compounding	/kənˈtɪnjuəs kəmˈpaʊndɪŋ/	复利次数趋于无穷

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