几何问题

数列在几何问题中有广泛应用，从简单的图形分割到复杂的分形几何，都能看到数列的身影。

图形分割问题

例1：三角形分割

将一个三角形的三边中点连接，得到4个小三角形。重复这个过程，第 $n$ 次分割后有多少个三角形？

解：

• 第1次：4个
• 第2次：$4 \times 4 = 16$ 个
• 第3次：$4 \times 4 \times 4 = 64$ 个
• 第 $n$ 次：$4^n$ 个

这是等比数列，公比为4。

例2：正方形分割

将正方形四等分，取走右上角，对剩余三个正方形重复此过程。第 $n$ 次后剩余面积是多少？

解：

设原正方形面积为1，每次剩余 $\frac{3}{4}$：

$S_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$

这是等比数列，$\lim_{n \to \infty} S_n = 0$

分形几何

谢尔宾斯基三角形

从等边三角形开始，每次去掉中间的小三角形，重复无穷次。

第 $n$ 次后：

• 三角形个数：$3^n$
• 总面积：$\left(\frac{3}{4}\right)^n S_0$（$S_0$ 是原面积）

当 $n \to \infty$：

• 三角形个数 $\to \infty$
• 总面积 $\to 0$

这就是分形的奇妙之处！

无穷级数与面积

例：无限分割的正方形

边长为1的正方形，依次取走面积的 $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots$，剩余面积是多少？

解：

取走的面积和：

$S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1$

剩余面积：$1 - 1 = 0$

立体几何

例：球的堆积

第1层放1个球，第2层放4个，第3层放9个，……第 $n$ 层放 $n^2$ 个。前 $n$ 层共有多少个球？

解：

$S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

练习题

练习 1

将边长为1的正方形分成4个小正方形，再将每个小正方形分成4个更小的正方形，如此重复 $n$ 次。第 $n$ 次后有多少个小正方形？每个小正方形的边长是多少？

参考答案

解：

小正方形个数：$4^n$ 个

每个小正方形边长：$\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{2^n}$

答案：$4^n$ 个，边长 $\frac{1}{2^n}$

练习 2

一个等边三角形，边长为1。连接各边中点得到4个小三角形，去掉中间的一个。对剩余的3个三角形重复此操作。求第 $n$ 次操作后剩余图形的周长。

参考答案

解：

初始周长：3

第1次：去掉中间三角形后，周长变为 $3 \times \frac{3}{2} = 4.5$

第2次：每个小三角形周长变为原来的 $\frac{3}{2}$ 倍

第 $n$ 次周长：$3 \times \left(\frac{3}{2}\right)^n$

答案：$3 \times \left(\frac{3}{2}\right)^n$

注：周长趋于无穷，但面积趋于0！

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总结

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
分形	fractal	/ˈfræktəl/	自相似的几何图形
谢尔宾斯基三角形	Sierpinski triangle	/sɪərˈpɪnski ˈtraɪæŋɡəl/	经典分形图形
无穷级数	infinite series	/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/	无穷多项的和

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