等比数列的性质

等比数列除了基本的定义和公式外，还有许多重要的性质。掌握这些性质，能够更灵活地解决问题。

中项性质

等比中项

等比中项

如果三个数 $a$，$b$，$c$ 成等比数列，则 $b$ 叫做 $a$ 与 $c$ 的等比中项（geometric mean）。

等比中项公式

$$b^2 = ac$$

换句话说，等比中项的平方等于两端项的乘积。

示例：$2$，$4$，$8$ 成等比数列，$4$ 是 $2$ 和 $8$ 的等比中项，因为 $4^2 = 2 \times 8 = 16$。

一般中项性质

在等比数列 $\{a_n\}$ 中，对于任意正整数 $n$（$n \geq 2$），都有：

中项性质

$$a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$$

这说明等比数列中，任意一项的平方都等于其前后两项的乘积。

为什么等差数列用加法，等比数列用乘法？

这源于两种数列的本质不同：

等差数列是”加法”结构：

• 定义：$a_{n+1} - a_n = d$（差为常数）
• 中项：$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$（算术平均）

等比数列是”乘法”结构：

• 定义：$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$（比为常数）
• 中项：$a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$（几何平均）

从对数的角度看，如果对等比数列取对数，它就变成了等差数列！这揭示了两者的深层联系。

乘积性质

在等比数列 $\{a_n\}$ 中，若 $m + n = p + q$（$m, n, p, q$ 为正整数），则：

乘积性质

$$a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q$$

特别地，当 $m + n = 2p$ 时，有 $a_m \cdot a_n = a_p^2$。

示例：在等比数列中，$a_2 \cdot a_6 = a_3 \cdot a_5 = a_4^2$（因为 $2+6=3+5=2 \times 4=8$）

证明：

$$\begin{aligned} a_m \cdot a_n &= (a_1 \cdot q^{m-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{n-1}) \\ &= a_1^2 \cdot q^{m+n-2} \\ \\ a_p \cdot a_q &= (a_1 \cdot q^{p-1}) \cdot (a_1 \cdot q^{q-1}) \\ &= a_1^2 \cdot q^{p+q-2} \end{aligned}$$

因为 $m + n = p + q$，所以 $a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q$。

子数列性质

等间隔抽取

从等比数列中等间隔抽取若干项，组成的新数列仍是等比数列。

示例：数列 $\{a_n\}$：$2, 6, 18, 54, 162, \ldots$（公比为3）

抽取奇数项：$a_1, a_3, a_5, \ldots$ 即 $2, 18, 162, \ldots$（公比为9）

抽取偶数项：$a_2, a_4, a_6, \ldots$ 即 $6, 54, 486, \ldots$（公比为9）

连续k项积

将等比数列每连续 $k$ 项的积作为一项，组成的新数列仍是等比数列。

与前n项和的关系

通项与前n项和的关系

对于等比数列 $\{a_n\}$（$q \neq 1$），其前 $n$ 项和 $S_n$ 与通项 $a_n$ 有如下关系：

$$a_n = \begin{cases} S_1, & n = 1 \\ S_n - S_{n-1}, & n \geq 2 \end{cases}$$

前n项和的性质

当 $q \neq 1$ 时，等比数列的前 $n$ 项和可以写成：

$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1}{1 - q} - \frac{a_1 q^n}{1 - q}$

这说明 $S_n$ 可以看作常数项与指数项的和。

应用示例

示例1：利用乘积性质

在等比数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_3 \cdot a_5 = 16$，求 $a_4$。

解：

因为 $3 + 5 = 2 \times 4$，由乘积性质：

$a_3 \cdot a_5 = a_4^2$

所以： $a_4^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad a_4 = \pm 4$

示例2：利用子数列性质

等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q = 2$，从中抽取第1项、第3项、第5项……组成新数列 $\{b_n\}$，求 $\{b_n\}$ 的公比。

解：

$b_1 = a_1$，$b_2 = a_3$，$b_3 = a_5$，$\ldots$

$\frac{b_2}{b_1} = \frac{a_3}{a_1} = q^2 = 2^2 = 4$

所以新数列的公比为 $4$。

示例3：利用前n项和性质

等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n = 3^n - 1$，求 $a_1$ 和 $q$。

解：

当 $n = 1$ 时： $a_1 = S_1 = 3^1 - 1 = 2$

当 $n \geq 2$ 时： $a_n = S_n - S_{n-1} = (3^n - 1) - (3^{n-1} - 1) = 3^n - 3^{n-1} = 3^{n-1}(3 - 1) = 2 \cdot 3^{n-1}$

验证 $n = 1$：$a_1 = 2 \cdot 3^0 = 2$ ✓

所以 $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$，即 $a_1 = 2$，$q = 3$。

练习题

练习 1

在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_2 \cdot a_8 = 36$，求 $a_5$。

参考答案

解题思路：利用乘积性质。

详细步骤：

因为 $2 + 8 = 2 \times 5$，所以：

$a_2 \cdot a_8 = a_5^2$

$a_5^2 = 36$

$a_5 = \pm 6$

答案：$a_5 = \pm 6$

练习 2

在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 27$，求 $a_2$。

参考答案

解题思路：利用中项性质。

详细步骤：

因为 $a_2^2 = a_1 \cdot a_3$，所以：

$a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = a_2 \cdot (a_1 \cdot a_3) = a_2 \cdot a_2^2 = a_2^3 = 27$

$a_2 = 3$

答案：$a_2 = 3$

练习 3

已知等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n = 2^{n+1} - 2$，求 $a_n$。

参考答案

解题思路：利用 $a_n = S_n - S_{n-1}$ ($n \geq 2$)。

详细步骤：

当 $n = 1$ 时： $a_1 = S_1 = 2^{1+1} - 2 = 4 - 2 = 2$

当 $n \geq 2$ 时：

$$\begin{aligned} a_n &= S_n - S_{n-1} \\ &= (2^{n+1} - 2) - (2^n - 2) \\ &= 2^{n+1} - 2^n \\ &= 2^n(2 - 1) \\ &= 2^n \end{aligned}$$

验证 $n = 1$：$a_1 = 2^1 = 2$ ✓

答案：$a_n = 2^n$

练习 4

改编自考研真题

在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 > 0$，$q > 1$，$a_1 + a_n = 66$，$a_2 \cdot a_{n-1} = 128$，$S_n = 126$，求 $n$。

参考答案

解题思路：利用乘积性质和求和公式。

详细步骤：

由乘积性质：$a_2 \cdot a_{n-1} = a_1 \cdot a_n = 128$

结合 $a_1 + a_n = 66$，设 $a_1 = x$，$a_n = y$，则：

$$\begin{cases} x + y = 66 \\ xy = 128 \end{cases}$$

$x$ 和 $y$ 是方程 $t^2 - 66t + 128 = 0$ 的两根。

解得：$t = 2$ 或 $t = 64$

因为 $a_1 > 0$，$q > 1$，所以 $a_1 < a_n$，故 $a_1 = 2$，$a_n = 64$。

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \quad \Rightarrow \quad 64 = 2 \cdot q^{n-1} \quad \Rightarrow \quad q^{n-1} = 32$

又 $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} = 126$

代入 $a_1 = 2$： $\frac{2(q^n - 1)}{q - 1} = 126 \quad \Rightarrow \quad q^n - 1 = 63(q - 1)$

因为 $q^{n-1} = 32$，所以 $q^n = 32q$： $32q - 1 = 63q - 63 \quad \Rightarrow \quad 31q = 62 \quad \Rightarrow \quad q = 2$

$q^{n-1} = 32 = 2^5 \quad \Rightarrow \quad n - 1 = 5 \quad \Rightarrow \quad n = 6$

答案：$n = 6$

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$a_n$	元素符号	a sub n	等比数列的第 $n$ 项
$q$	参数	quotient	等比数列的公比
$S_n$	求和符号	S sub n	等比数列前 $n$ 项的和
$m, n, p, q$	变量	-	正整数，表示项数

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
等比中项	geometric mean	/ˌdʒiːəˈmetrɪk miːn/	两个数的几何平均数
乘积性质	product property	/ˈprɒdʌkt ˈprɒpəti/	数列项之间的乘积关系
子数列	subsequence	/ˈsʌbsiːkwəns/	从原数列中按规则抽取的数列
几何平均	geometric average	/ˌdʒiːəˈmetrɪk ˈævərɪdʒ/	$\sqrt{ab}$ 形式的平均数

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