极限的运算

极限的运算法则让我们能够通过已知极限计算复杂表达式的极限。

四则运算法则

设 $\lim_{n \to \infty} a_n = A$，$\lim_{n \to \infty} b_n = B$，则：

1. 和差法则

和差法则

$$\lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = A \pm B$$

2. 数乘法则

数乘法则

$$\lim_{n \to \infty} (c \cdot a_n) = c \cdot A \quad (c \text{ 为常数})$$

3. 乘积法则

乘积法则

$$\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B$$

4. 商法则

商法则

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B} \quad (B \neq 0)$$

应用示例

示例1：分式极限

求 $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 2n + 1}{2n^2 - n + 5}$

解：

分子分母同除以 $n^2$：

$\lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{2 - \frac{1}{n} + \frac{5}{n^2}} = \frac{3 + 0 + 0}{2 - 0 + 0} = \frac{3}{2}$

示例2：组合运算

求 $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2n+1}{n} - \frac{n+3}{n}\right)$

解：

$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2n+1}{n} - \frac{n+3}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{n-2}{n} = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{2}{n}\right) = 1$

示例3：乘积形式

求 $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} \cdot \frac{2n}{n+2}$

解：

$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} \cdot \frac{2n}{n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) \cdot 2n}{n(n+2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 2n}{n^2 + 2n} = 2$

常用技巧

技巧1：提取最高次项

对于分式，分子分母同除以最高次项：

\frac{a_k}{b_m}, & k = m \\ 0, & k < m \\ \infty, & k > m \end{cases}$$ ### 技巧2：有理化 $$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0$$ ## 练习题 ### 练习 1 求 $\lim_{n \to \infty} \frac{5n^3 - 2n + 1}{3n^3 + n^2}$ <ReferenceAnswer title="参考答案" client:idle> **解**： 分子分母同除以 $n^3$： $$\lim_{n \to \infty} \frac{5 - \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3}}{3 + \frac{1}{n}} = \frac{5}{3}$$ **答案**：$\frac{5}{3}$ </ReferenceAnswer> ### 练习 2 求 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{n + 1}$ <ReferenceAnswer title="参考答案" client:idle> **解**： 分子次数高于分母，极限为无穷： $$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n + \frac{1}{n})}{n(1 + \frac{1}{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{n + \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = \infty$$ **答案**：发散（趋于无穷） </ReferenceAnswer> ### 练习 3 求 $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + n} - n)$ <ReferenceAnswer title="参考答案" client:idle> **解**： 有理化： $$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + n} - n) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 + n} - n)(\sqrt{n^2 + n} + n)}{\sqrt{n^2 + n} + n}$$ $$= \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n - n^2}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n}$$ $$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} = \frac{1}{2}$$ **答案**：$\frac{1}{2}$ </ReferenceAnswer> --- ## 总结 ### 中英对照 | 中文术语 | 英文术语 | 音标 | 说明 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | 四则运算 | four arithmetic operations | /fɔː ˌærɪθˈmetɪk ˌɒpəˈreɪʃənz/ | 加减乘除 | | 有理化 | rationalization | /ˌræʃənəlaɪˈzeɪʃən/ | 消除根号的技巧 |

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