aₙ₊₁ = aₙ + f(n) 型

这种递推关系使用累加法（叠加法）求解，是一种灵活的类型。

递推关系

累加型递推关系

$$a_{n+1} = a_n + f(n)$$

特征：每次加上一个关于 $n$ 的函数 $f(n)$。

求解方法：累加法

从递推关系出发，写出多个式子：

$$\begin{aligned} a_2 - a_1 &= f(1) \\ a_3 - a_2 &= f(2) \\ a_4 - a_3 &= f(3) \\ &\vdots \\ a_n - a_{n-1} &= f(n-1) \end{aligned}$$

将所有式子相加（左边叠加，右边叠加）：

$(a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \cdots + (a_n - a_{n-1}) = f(1) + f(2) + \cdots + f(n-1)$

左边大部分项相消，只剩：

$a_n - a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} f(k)$

通项公式

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k)$$

应用示例

示例1：$f(n) = n$

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n + n$，求通项公式。

解：

$$\begin{aligned} a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k \\ &= 1 + \frac{(n-1)n}{2} \\ &= 1 + \frac{n^2 - n}{2} \\ &= \frac{n^2 - n + 2}{2} \end{aligned}$$

示例2：$f(n) = 2^n$

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n + 2^n$，求通项公式。

解：

$$\begin{aligned} a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k \\ &= 1 + \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} \\ &= 1 + 2^n - 2 \\ &= 2^n - 1 \end{aligned}$$

示例3：$f(n) = \frac{1}{n(n+1)}$

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 0$，$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n(n+1)}$，求通项公式。

解：

利用裂项：$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

$$\begin{aligned} a_n &= 0 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k(k+1)} \\ &= \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) \\ &= \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) \\ &= 1 - \frac{1}{n} \\ &= \frac{n-1}{n} \end{aligned}$$

练习题

练习 1

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 2$，$a_{n+1} = a_n + 2n$，求通项公式。

参考答案

解：

$$\begin{aligned} a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k \\ &= 2 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k \\ &= 2 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} \\ &= 2 + n(n-1) \\ &= n^2 - n + 2 \end{aligned}$$

答案：$a_n = n^2 - n + 2$

练习 2

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n + 3^n$，求 $a_5$。

参考答案

解：

$$\begin{aligned} a_5 &= a_1 + \sum_{k=1}^{4} 3^k \\ &= 1 + (3 + 9 + 27 + 81) \\ &= 1 + 120 \\ &= 121 \end{aligned}$$

或使用等比数列求和公式： $a_5 = 1 + \frac{3(3^4 - 1)}{3 - 1} = 1 + \frac{3 \times 80}{2} = 121$

答案：$a_5 = 121$

练习 3

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{(n+1)n}$，求通项公式。

参考答案

解：

注意：$\frac{1}{(n+1)n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

$$\begin{aligned} a_n &= 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k+1)k} \\ &= 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) \\ &= 1 + \left(1 - \frac{1}{n}\right) \\ &= 2 - \frac{1}{n} \\ &= \frac{2n - 1}{n} \end{aligned}$$

答案：$a_n = \frac{2n - 1}{n}$

---

总结

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
累加法	telescoping sum	/ˈtelɪskəʊpɪŋ sʌm/	通过累加求解递推关系的方法
叠加法	summation method	/sʌˈmeɪʃən ˈmeθəd/	累加法的另一种说法

上一章节 aₙ₊₁ = qaₙ + d 型