Differential Matching (u-substitution)

Match the derivative to form $f(g(x))g'(x)$ and substitute.

适用情况

基本步骤

1. Spot the composite $g(x)$.
2. Let $u = g(x)$, $du = g'(x)dx$.
3. Convert to $\int f(u)\,du$.
4. Integrate and back-substitute.

例子

例 $\int x e^{x^2} dx$: let $u=x^2$, $du=2x dx$ → $\tfrac12 e^{x^2}+C$.

Common patterns (choose $u$):

1. $u=ax+b$
2. $u=x^2$ when $x f(x^2)$
3. $u=ax$ for $e^{ax}$
4. $u=f(x)$ for $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$

---

练习题

练习 1

使用凑微分法计算 $\int x e^{x^2} dx$。

参考答案

答案：$\tfrac12 e^{x^2} + C$。

练习 2

计算 $\int \dfrac{1}{x^2 + 1} dx$。

参考答案

答案：$\arctan x + C$。

---

Summary

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$u$	变量	yoo	换元变量
$\int$	数学符号	integral	不定/定积分符号

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
凑微分法	differential matching	/ˌdɪfəˈrɛnʃl ˈmætʃɪŋ/	将 integrand 写成 $f(g)g'$ 再换元

PreviousDirect Integration NextTrigonometric Identities for Integration