Substitution — First Type (Differential Matching)

The first-type substitution (differential matching) is one of the most common methods.

基本思想

步骤

1. Identify the composite part.
2. Let $u=\varphi(x)$, compute $du=\varphi'(x)\,dx$.
3. Rewrite the integral in $u$.
4. Integrate, then substitute back.

例子

例 1 $\int x e^{x^2} dx$ → $u=x^2$, $du=2x\,dx$ → $\tfrac12 e^{x^2}+C$.
例 2 $\int \dfrac{1}{x \ln x} dx$ → $u=\ln x$, $du=\dfrac{1}{x}dx$ → $\ln|\ln x|+C$.
例 3 $\int \sin(2x+1) dx$ → $u=2x+1$, $du=2dx$ → $-\tfrac12\cos(2x+1)+C$.

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练习题

练习 1

使用换元积分法计算 $\int x e^{x^2} dx$。

参考答案

答案：$\tfrac12 e^{x^2} + C$。

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Summary

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$u$	变量	yoo	换元后的新变量
$\int$	数学符号	integral	不定/定积分符号

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
第一类换元法	first-type substitution	/ˈfɜːst taɪp ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	凑微分法，直接匹配导数
凑微分	differential matching	/ˌdɪfəˈrɛnʃl ˈmætʃɪŋ/	通过导数凑出 $du$

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