Exercises

Practice consolidates “differentiating upper-limit integrals” and related techniques.

练习题

练习 1

Let $F(x) = \int_0^x t^2 \, dt$. Find $F'(x)$.

参考答案

Answer: $F'(x) = x^2$.

练习 2

Let $F(x) = \int_1^x \dfrac{1}{t^2} \, dt$. Find $F'(x)$.

参考答案

Answer: $F'(x) = \dfrac{1}{x^2}$.

练习 3

Let $F(x) = \int_0^{x^3} \cos t \, dt$. Find $F'(x)$.

参考答案

Answer: $F'(x) = 3x^2 \cos(x^3)$.

练习 4

Let $f(x) = \int_0^x e^{-t^2} \cos t\,dt$. Find $f'(0)$ and $f''(0)$, and decide whether $x=0$ is an extremum of $f(x)$.

参考答案

Answer: $f'(0)=1$, $f''(0)=0$, so $x=0$ is not an extremum.

练习 5

改编自 2022 考研数学一第 1 题

Given $\lim\limits_{x\to1} \dfrac{f(x)}{\ln x}=1$ with $f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$, find $f'(1)$.

参考答案

Answer: $f'(1) = e \sin 1$.

练习 6

改编自 2023 考研数学一第 3 题

Let $y=f(x)$ be given parametrically by $\begin{cases}x=2t+|t|\\y=|t|\sin t\end{cases}$ and $f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$. Find $f'(0)$.

参考答案

Answer: $f'(0) = 0$.

练习 7

改编自 2024 考研数学一第 1 题

Given $f(x)=\int_0^x e^{\cos t} dt$, find $f'(x)$ and $f''(x)$.

参考答案

Answer: $f'(x)=e^{\cos x}$, $f''(x)=-e^{\cos x}\sin x$.

练习 8

改编自 2025 考研数学一第 1 题

Given $f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$, find $f'(x)$ and $f''(x)$.

参考答案

Answer: $f'(x) = e^{x^2} \sin x$, $f''(x) = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x$.

练习 9

改编自 2022 考研数学一第 17 题

Given $y'= -\dfrac{1}{2\sqrt{x}}y + 2 + \sqrt{x}$ with $y(1)=3$, and $f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$, find $f'(1)$.

参考答案

Answer: $f'(1) = e \sin 1$.

练习 10

改编自 2023 考研数学一第 14 题

Let continuous $f(x)$ satisfy $f(x+2)-f(x)=x$, $\int_0^2 f(x)dx=0$, and $F(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dt$. Find $F'(0)$ and $F''(0)$.

参考答案

Answer: $F'(0) = 0$, $F''(0) = 1$.

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$F'(x), f'(x)$	数学符号	导数	变上限积分或相关函数的导数
$F''(x), f''(x)$	数学符号	二阶导数	二阶导数，用于判断曲线性质

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
积分上限函数	upper-limit integral function	/ˈʌpər ˈlɪmɪt ɪnˈtɛɡrəl ˈfʌŋkʃən/	形如 $\int_a^x f(t)\,dt$ 的函数
变上限积分求导	differentiation of variable-limit integrals	/ˌdɪfəˌrɛnʃiˈeɪʃən əv ˈvɛəriəbəl ˈlɪmɪt ˈɪntɪɡrəlz/	对上限含 $x$ 的定积分求导
参考答案	reference answer	/ˈrɛfərəns ˈænsər/	折叠展示的解答说明

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