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高等数学之函数探秘

自然常数

伯努利与自然常数

17 世纪末，瑞士著名数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在研究金融中的复利问题时，意外地发现了自然常数 ee。

本金、利息与利率

在讨论复利问题之前，我们先了解几个基本的金融概念：

  • 本金：最初投入或借出的资金金额，记作 PP。比如你存入银行的 100 元，就是本金。
  • 利息：本金在一定时间内因借出或存入而产生的报酬。比如一年后银行给你的额外 2 元，就是利息。
  • 利率：利息与本金的比率，通常用百分数表示。例如年利率 5%，表示一年后每 100 元本金可获得 5 元利息。

有了这些概念，下面我们就可以进入复利问题的讨论了。

复利问题

在 17 世纪，银行和商人们已经在实际中使用复利（Compound Interest）来计算利息。所谓复利，就是把每期产生的利息加入本金，下一期再一起计算利息。这样，利息会”生利息”，本息和会比单利增长得更快。

伯努利提出了这样一个经典问题：

如果你有 1 单位本金，年利率为 100%，一年后你能得到多少钱？

1. 每年复利一次

如果一年只结算一次利息，那么年末本息和为：

A1=1×(1+1)=2A_1 = 1 \times (1 + 1) = 2

2. 每年复利两次

如果一年分两次结算，每次利率为 50%，那么每半年结算一次：

  • 年利率 100%，一年复利两次，所以每次的利率是：

    \text{每次利率} = \frac{100\%}{2} = 50\% = 0.5

  • 第一次结算（半年后）：

    1×(1+0.5)=1.51 \times (1 + 0.5) = 1.5

  • 第二次结算（再过半年）：

    1.5×(1+0.5)=2.251.5 \times (1 + 0.5) = 2.25

  • 用公式表示：

    \text{本息和} = 1 \times (1 + 0.5)^2 = 1.5^2 = 2.25

3. 每年复利 nn 次

如果一年分 nn 次结算，每次利率为 1/n1/n，则年末本息和为：

An=1×(1+1n)nA_n = 1 \times (1 + \frac{1}{n})^n

4. 复利次数趋于无穷大

伯努利好奇：如果复利次数越来越多（n→∞n \to \infty），本息和会趋向于多少？他计算了 n=10,100,1000n=10, 100, 1000 时的结果，发现本息和越来越接近一个固定的数值：

  • n=10n=10 时，A10≈2.5937A_{10} \approx 2.5937
  • n=100n=100 时，A100≈2.7048A_{100} \approx 2.7048
  • n=1000n=1000 时，A1000≈2.7169A_{1000} \approx 2.7169

随着 nn 趋于无穷大，本息和趋于一个极限，这个极限就是：

e=lim⁡n→∞(1+1n)n≈2.71828e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n \approx 2.71828

5. 现实意义

这个极限不仅在金融中有实际意义，更在数学分析、微积分等领域成为了极其重要的常数。伯努利正是在解决这个复利问题时，首次遇到了 ee 这个神奇的数。

1683 年，伯努利首次发表了相关计算，虽然当时还没有用ee来表示这个常数，但这就是ee的首次出现。

到了 18 世纪，伟大的数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）对这个常数进行了系统研究，并首次用字母 ee 表示它。欧拉还发现了 ee 的无理性、超越性，以及它与三角函数、复数的深刻联系。ee 逐渐成为数学分析、概率论、数论等领域不可或缺的重要常数。

深入了解自然常数

自然常数 ee 是数学中最重要的无理数之一，约等于 2.718282.71828。它在极限、微积分、复分析、概率论等领域有着极其重要的地位。

定义

  • 极限定义： e=lim⁡n→∞(1+1n)ne = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n
  • 级数定义： e=∑n=0∞1n!=1+11+12!+13!+⋯e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots

极限的证明

历史背景

最早发现这个极限的是瑞士数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli），他在 1683 年通过复利问题的计算，发现了这个极限的存在。后来，欧拉（Leonhard Euler）等数学家对其进行了严格证明，并给出了 ee 的级数展开式。

证明思路一：二项式展开

我们要证明：

e=lim⁡n→∞(1+1n)ne = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

利用二项式定理展开：

(1+1n)n=∑k=0n(nk)(1n)k\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \left(\frac{1}{n}\right)^k

其中：

(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

代入后：

=∑k=0nn(n−1)⋯(n−k+1)k!⋅1nk= \sum_{k=0}^{n} \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} \cdot \frac{1}{n^k} =∑k=0n1⋅(1−1n)⋯(1−k−1n)k!= \sum_{k=0}^{n} \frac{1 \cdot (1 - \frac{1}{n}) \cdots (1 - \frac{k-1}{n})}{k!}

当 n→∞n \to \infty 时，(1−jn)→1(1 - \frac{j}{n}) \to 1，所以：

(1+1n)n→∑k=0∞1k!=e\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e

证明思路二：夹逼定理

可以证明：

(1+1n)n<e<(1+1n)n+1\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}

随着 nn 趋于无穷大，左右两边都趋于同一个极限 ee。

数学意义与性质

  • ee 是自然对数的底数

    在对数函数中，ln⁡x\ln x 表示以 ee 为底的对数，即 ln⁡x=log⁡ex\ln x = \log_e x。自然对数在微积分、复分析等领域有着极其重要的作用，因为它的导数和积分性质非常优美。

  • exe^x 的导数等于自身

    exe^x 是唯一一个导数等于自身的实函数：

    ddxex=ex\frac{d}{dx}e^x = e^x

    这使得 exe^x 在微分方程、指数增长与衰减等问题中有着独特的地位。

  • ee 是无理数，也是超越数

    ee 不是有理数（不能表示为两个整数的比），而且更进一步，ee 还是超越数——它不是任何有理系数多项式的根。这一性质使得 ee 在数论中非常特殊。

  • ee 在复分析、概率论、数论等领域有广泛应用

    在复分析中，ee 通过欧拉公式 eix=cos⁡x+isin⁡xe^{ix} = \cos x + i\sin x 连接了三角函数与指数函数；在概率论中，ee 出现在泊松分布、极限定理等公式中；在数论、组合数学等领域也有大量应用。

  • ee 是唯一使得 ddxex=ex\frac{d}{dx}e^x = e^x 成立的实数

    只有以 ee 为底的指数函数，其导数等于自身。如果用其他底 aa，则有 ddxax=axln⁡a\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a，只有 a=ea=e 时，ln⁡a=1\ln a=1，导数才等于自身。

  • 莱昂哈德·欧拉首次用字母 ee 表示该常数

    18 世纪，伟大的瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在研究指数函数和对数函数时，首次用字母 ee 来表示这个重要的常数。自此，ee 成为数学界公认的符号。

  • ee 的小数部分无限不循环

    ee 是无理数，这意味着它不能表示为两个整数的比。它的小数部分无限延伸且没有任何循环节：

    e=2.7182818284590452353602874713527…e = 2.7182818284590452353602874713527\ldots

    这和圆周率 π\pi 一样，都是”无限不循环小数”。

  • ee 与欧拉公式

    欧拉公式是数学中最美的公式之一，将指数、三角、虚数、圆周率和基本常数 1、0 联系在一起：

    eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

    这里 ii 是虚数单位，π\pi 是圆周率。这个公式被誉为”数学中的皇冠上的明珠”，它展示了数学中不同领域的深刻联系。

习题

习题 1

写出 ee 的极限定义和级数定义。

答案与解析

极限定义：e=lim⁡n→∞(1+1/n)ne = \lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n；级数定义：e=∑n=0∞1/n!e = \sum_{n=0}^{\infty} 1/n!

习题 2

判断 ee 是否为有理数，并说明理由。

答案与解析

ee 是无理数，且是超越数。

习题 3

计算 e0e^0 和 ln⁡e\ln e 的值。

答案与解析

e0=1e^0 = 1，ln⁡e=1\ln e = 1。

考研真题

真题 1

【2020·数学一】下列极限等于 ee 的是？
(A) lim⁡n→∞(1+1/n)n\lim_{n\to\infty} (1 + 1/n)^n
(B) lim⁡n→∞(1+1/n)2n\lim_{n\to\infty} (1 + 1/n)^{2n}
(C) lim⁡n→∞(1+2/n)n\lim_{n\to\infty} (1 + 2/n)^n
(D) lim⁡n→∞(1+1/2n)2n\lim_{n\to\infty} (1 + 1/2n)^{2n}

答案与解析

(A) 正确，其它极限分别趋于 e2e^2、e2e^2、e1e^1。

真题 2

【2018·数学二】判断 ee 是否为超越数，并说明理由。

答案与解析

ee 是超越数，因为它不是任何有理系数多项式的根。

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